Enunciado

Granizo é formado em nuvens de grande altitude a 253   K . Considere partículas de granizo de 20   m m de diâmetro caindo através do ar a uma temperatura de 15 ℃ , com coeficiente de transferência de calor por convecção de 163   W / m 2 ⋅ K . Considerando que o granizo pode ser modelado como uma esfera e tem propriedades de gelo a 253   K , determine o tempo necessário para alcançar a temperatura de derretimento na superfície do granizo.

Passo 1

Podemos obter as propriedades do gelo a 253   K na tabela A-8 “Propriedades de diversos materiais” do livro didático.

Dados fornecidos no enunciado e retirados da tabela A-8:

Densidade do gelo: ρ = 922   k g / m 3

Calor específico do gelo: c p = 1945   J / k g ⋅ K

Coeficiente de condução de calor do gelo: k = 2,03   W / m ⋅ K

Coeficiente de transferência de calor por convecção: h = 163   W / m 2 ⋅ K

Diâmetro do granizo: D = 20   m m = 0,02   m

Raio do granizo: r o = 0,01   m

Temperatura inicial do granizo: T i = 253   K

Temperatura final do granizo: T s = 0 ℃ = 273   K

Temperatura ambiente: T ∞ = 15 ℃ = 288   K

Passo 2

Para determine o tempo necessário para alcançar a temperatura de derretimento na superfície do granizo, podemos começar calculando o número Biot para o derretimento de pedras de granizo usando a seguinte relação:

B i = h r o k

Aqui, h é o coeficiente de transferência de calor por convecção, r o é o comprimento característico do granizo e k é o coeficiente de condução do granizo. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

B i = h = 163   W / m 2 ⋅ K × 0,01   m 2,03   W / m ⋅ K

B i = 0,80

Agora, vamos encontrar os valores de λ 1 e A 1 para o número Biot encontrado 0,8 na tabela 4.2 “Coeficientes utilizados ​​na solução aproximada do termo da condução de calor transiente unidimensional em esferas” do livro. Para B i = 0,80 , temos que:

λ 1 = 1,4320

A 1 = 1,2236

Passo 3

Agora, vamos calcular o número de Fourier para o processo usando a seguinte equação:

θ s , e s f e r a = T s - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ sen ⁡ λ 1 r r o λ 1 r r o

Na superfície, temos que r = r o , assim, a equação fica:

T s - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ sen ⁡ λ 1 r o r o λ 1 r o r o

T s - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ sen ⁡ λ 1 λ 1

Aqui, T s é a temperatura na superfície do granizo, T ∞ é a temperatura ambiente, T i é a temperatura inicial do granizo e τ é o número de Fourier. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

273   K - 288   K 253   K - 288   K = 1,2236 × e - 1,4320 2 τ × sen ⁡ 1,4320   r a d 1,4320

0,42857 = 0,8462 × e - 2,0506 τ

τ = ln ⁡ 0,5064 - 2,0506

τ = 0,332

Passo 4

Podemos então, calcular o tempo necessário para atingir o ponto de fusão na superfície da pedra de granizo usando a relação do número de Fourier que é a seguinte:

τ = α t r o 2

Aqui, α é a difusividade térmica do granizo, t é o tempo necessário para atingir o ponto de fusão na superfície da pedra de granizo. Como não temos a difusividade térmica do granizo, podemos obtê-la pela seguinte relação:

α = k ρ c p

Substituindo na relação do número de Fourier e isolando o tempo, temos:

τ = k ρ c p t r o 2

t = τ ρ c p r o 2 k

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

t = 0,332 × 922   k g / m 3 × 1945   J / k g ⋅ K × 0,01   m 2 2,03   W / m ⋅ K

t = 29,21   s

Portanto, o tempo necessário para atingir o ponto de fusão na superfície do granizo caindo é  29,21   s .

Resposta

t = 29,21   s

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