Enunciado

Barras de aço de 2   m de comprimento e 60   m m de diâmetro são transportadas para um forno que mantém temperatura de 800 ℃ e coeficiente de transferência de calor de convecção de 128   W / m 2 ⋅ K . As barras de aço ρ = 7.832   k g / m 3 ,   c p = 434   J / k g ⋅ K ,   k = 63,9   W / m ⋅ K ,   e   α = 18,8 × 10 - 6   m 2 / s estavam inicialmente a uma temperatura uniforme de 30 ℃ . Usando a a Tab. 4-2 e b a Fig. 4-17, determine a quantidade de calor transferido para a barra de aço após 133   s de aquecimento.

Passo 1

Dados fornecidos no enunciado:

Densidade da barra de aço: ρ = 7.832   k g / m 3

Calor específico da barra de aço: c p = 434   J / k g ⋅ K

Condutividade térmica da barra de aço: k = 63,9   W / m ⋅ K

Difusividade térmica da barra de aço: α = 18,8 × 10 - 6   m 2 / s

Coeficiente de transferência de calor de convecção: h = 128   W / m 2 ⋅ K

Diâmetro da barra de aço: D = 60   m m = 0,0 6   m

Raio da barra de aço: r 0 = 0,03   m

Comprimento da barra de aço: L = 2   m

Temperatura inicial da barra de aço: T i = 30 ℃

Temperatura do forno: T ∞ = 800 ℃

Tempo de aquecimento da barra de aço: t = 133   s

Passo 2

Vamos começar calculado o calor máximo transferido para a barra de aço, pois será usado na letra a e b . Podemos calcular usando a seguinte relação:

Q m á x = m c p T ∞ - T i

Aqui, m é a massa da barra de aço, c p é o calor específico à pressão constante, T ∞ é a temperatura ambiente no forno e T i é a temperatura inicial da barra de aço. Podemos substituir a massa pela seguinte expressão:

m = ρ V

m = ρ π r o 2 L

Aqui, V é o volume da barra de aço, ρ é a densidade, r o é o raio e L é o comprimento da haste.

Substituindo na equação temos:

Q m á x = ρ π r o 2 L c p T ∞ - T i

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

Q m á x = 7832   k g / m 3 × π × 0,03   m 2 × 2   m × 434   J / k g ⋅ K × 800 ℃ - 30 ℃

Q m á x = 14.800.470,1471   J

Q m á x = 14.800,47   k J

Passo 3

a) Para resolver essa questão, é importante saber que podemos calcular a transferência de calor para uma barra de aço usando a seguinte relação:

Q = Q m á x 1 - 2 θ o , c i l i n d r o J 1 λ 1 λ 1

Onde

θ o , c i l i n d r o = A 1 e - λ 1 2 τ

Assim, precisamos encontrar os parâmetros para inserir na formula acima. Para isso, podemos começar calculando o numero de Fourier.

τ = α t r o 2

Aqui, α é a difusividade da barra de aço e t é o tempo pelo qual a barra é aquecida, r o é o raio da barra e τ é o número de Fourier. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

τ = 18,8 × 10 - 6   m 2 / s × 133   s 0,03   m 2

τ = 2,778

Passo 4

Também vamos precisar encontrar o número de Biot. Podemos calcular usando a seguinte expressão:

B i = h r o k

Aqui, h é o coeficiente de transferência de calor por convecção, r o é o comprimento característico da barra de aço e k é o coeficiente de condução da barra. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

B i = 128   W / m 2 ⋅ K × 0,03   m 63,9   W / m ⋅ K

B i = 0,06

Com o número de Biot podemos encontrar os coeficientes λ 1 e A 1 para cilindro na Tab. 4-2. Para o número de Biot 0,06 , os coeficientes são as seguintes:

λ 1 = 0,3438

A 1 = 1,0148

Com λ 1 , podemos encontrar J 1 λ 1 na tabela 4-3. Assim por interpolação, temos:

J 1 0,3438 = 0 , 1483 + 0 , 1960 - 0 , 1483 × 0,3438 - 0,3 0,4 - 0,3 = 0,1692

Passo 5

Agora vamos calcular transferência de calor para uma barra de aço depois  133   s usando a relação mencionada acima.

Q = Q m á x 1 - 2 θ o , c i l i n d r o J 1 λ 1 λ 1

Substituindo θ o , c i l i n d r o na equação, temos:

Q = Q m á x 1 - 2 A 1 e - λ 1 2 τ × J 1 λ 1 λ 1

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

Q = 14.800,47   k J × 1 - 2 × 1,0148 × e - 0,3438 2 × 2,778 × 0,1692 0,3438

Q = 14.800,47   k J × 1 - 2 × 0,7192

Q = 4155,43   k J

Portanto, a transferência de calor para uma barra de aço depois  133   s é  4155,43   k J .

Passo 6

b) Para determinar a quantidade de calor transferido para a barra de aço após 133   s de aquecimento usando a Fig. 4-17, precisamos calcular o valor  B i 2 τ para analisar o gráfico. Podemos calcar usando os dados do numer de Biot e Fourier calcuados na letra a . Assim temos:

B i 2 τ = 0,06 2 × 2,778 = 0,01

Com os valores de B i 2 τ e B i , podemos obter a relação Q / Q m á x na Fig. 4-17 (c) Transferência de calor. Analisando o gráfico, temos que:

Q Q m á x ≅ 0,3

Assim, podemos calcular a transferência de calor para uma barra de aço depois  133   s reorganizando a relação acima e substituindo Q m á x .

Q = 0,3 × Q m á x

Q = 0,3 × 14.800,47   k J

Q = 4440,14   k J

Portanto, a transferência de calor para uma barra de aço depois  133   s é  4440,14   k J .

Resposta

a) Q = 4155,43   k J

b) Q = 4440,14   k J

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O livro de receitas de culinária Betty Crocker’s Cookbook informa que leva 2 horas e 45 minutos para assar 3,2k g de costela inicialmente a 4,5 ℃ ℃ em um forno mantido a 163 ℃ ℃. Recomenda-se que um t
Repita o Pob, 4-49 para um costela assada que deve estar “bem passada” em vez de “mal passada”. Uma costela é considerada “bem passada” quando a temperatura no centro atinge 77 ℃ ℃; nesse caso, o cozi
Em uma instalação de produção, placas grandes de bronze k = 110W / m ⋅ K ,ρ = 8.530k g / m 3 ,c p = 380J / k g ⋅ Keα = 33,9 × 10 - 6m 2 / s de 3c m de espessura, que estão inicialmente a uma temperatu
Repita o Prob. 4-51 para uma localização de 1.610m de altitude, como em Denver, Colorado, onde a temperatura de ebulição da água é 94,4 ℃ ℃.
Frutos cítricos são sensíveis ao frio, e a exposição prolongada a temperaturas negativas pode destruí-los. Considere uma laranja de 8c m de diâmetro inicialmente a 15 ℃ ℃. Uma frente fria se desloca à