Enunciado

Um fio comprido de constantan, com 1 mm de diâmetro, tem uma de suas extremidades soldada à superfície de um grande bloco de cobre, formando uma junção de termopar. O fio se comporta como uma aleta, permitindo a saída de calor da superfície e, assim, diminuindo a temperatura medida na junção Tj em relação à temperatura do bloco, To.

(a) Se o fio encontra-se no ar a 25 ° C , com um coeficiente convectivo de 10   W / ( m 2   ·   K ) , estime o erro de medida ( T j   –   T o ) do termopar quando o bloco estiver a 125 ° C .

(b) Para coeficientes de transferência de calor por convecção de 5 ,   10   e 25   W / ( m 2   ·   K ) , represente graficamente o erro de medida em função da condutividade térmica do material do bloco na faixa de 15   a   400   W / ( m   ·   K ) . Sob quais circunstâncias é vantajoso utilizar um fio com menor diâmetro?

Passo 1

Nessa questão nós temos um fio longo e constante, soldado a um grande bloco de cobre, formando uma junção de termopar na superfície do bloco. E com isso queremos encontrar o erro de medição ( T j   -   T o )   para o termopar para as condições prescritas.

Para esse esquema, temos que o circuito térmico é:

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir:

(1) Condições de estado estacionário;

(2) O fio do termopar se comporta como uma aleta com coeficiente de transferência de calor constante;

(3) O bloco de cobre tem temperatura uniforme, exceto nas proximidades da junção.

O fio do termopar se comporta como uma aleta longa, permitindo que o calor flua da superfície, diminuindo assim a temperatura da junção de detecção abaixo da do bloco, T o .

No bloco, o calor flui para a região circular da interface bloco-arame e a resistência térmica ao fluxo de calor dentro do bloco é aproximada como um disco de diâmetro D em um meio semi-infinito ( k b ,   T o ) .

Passo 3

A combinação termopar-bloco pode ser representada por um circuito térmico, como mostrado no Passo 1. Onde a resistência térmica da aleta segue a expressão da taxa de calor para uma aleta infinita,

R a l e t a = h P k t A c - 1 2

O fator de forma para o disco em um meio semi-infinito é dado como S   =   2 D e, portanto,

R b l o c o   = 1 k b S = 1 2 k b D

Do circuito térmico,

T o - T j = R b l o c o R a l e t a + R b l o c o ( T o - T ∞ )

Passo 4

Com,

P = π D e A c = π D 2 4

E as resistências térmicas,

R a l e t a = 10 W m 2 . K π 4 25 W m . K × 1 × 10 - 3 m 3 1 2 = 1273   K / W

R b l o c o = 1 2 × 393 W m . K × 10 - 3 m = 1,27   K / W

Substituindo os valores,

T o - T j = 1,27 1273 + 1,27 125 - 25 ° C ≈ 0,001 125 - 25 ° C = 0,1 ° C

Resposta

  1. T o - T j = 0,1 ° C
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