Enunciado

Um fio elétrico de 3   m m de diâmetro é isolado por uma bainha emborrachada de 2   m m de espessura k = 0,13   W / m ⋅ K   , e a interface fio/bainha é caracterizada por uma resistência de contato térmico de R t , c ' ' = 3 × 10 - 4   m 2 ⋅ K / W . O coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície externa da bainha é de 15   W / m 2 ⋅ K e a temperatura do ar ambiente é de 20 ℃ . Se a temperatura do isolamento não pode exceder 50 ℃ , qual é a potência elétrica máxima permitida que pode ser dissipada por unidade de comprimento do condutor? Qual é o raio crítico do isolamento?

Passo 1

Fala galerinha!! Vocês estão bem??

Para resolver essa questão, podemos começar fazendo as seguintes suposições:

(1) Estado estacionário.

(2) Condução radial unidimensional através do isolamento.

(3) Propriedades constantes.

(4) Troca de radiação insignificante com o ambiente.

Os dados fornecidos foram:

Diâmetro do fio: D = 3   m m

Espessura do isolante: e = 2   m m

Raio interno: r i = 1,5   m m = 0,00 15   m

Raio externo: r o = 3,5   m m = 0,003 5   m

Coeficiente convectivo na superfície: h = 15   W / m 2 ⋅ K

Condutividade térmica do isolante: k = 0,13   W / m ⋅ K

Resistência de contato fio/bainha: R t , c ' ' = 3 × 10 - 4   m 2 ⋅ K / W

Temperatura do ar ambiente e grandes arredores: T ∞ = 20 ℃

Temperatura máxima do isolante: T i = 50 ℃

Passo 2

Para resolver essa questão, podemos fazer um circuito térmico que representa a condução de calor no sistema. O circuito tem a seguinte forma:

A temperatura máxima de isolamento T i corresponde à sua superfície interna e é independente da resistência de contato. Do circuito térmico, podemos escrever o seguinte:

P e l e c ' = q ' = T i - T ∞ R c o n d ' + R c o n v '

P e l e c ' = T i - T ∞ ln ⁡ r o / r i 2 π k + 1 / 2 π r o h

Substituindo os termos da expressão acima pelos dados fornecidos, temos:

P e l e c ' = 50 ℃ - 20 ℃ ln ⁡ 3,5   m m / 1,5   m m 2 π 0,13   W / m ⋅ K + 1 / 2 π 0,0035   m 15   W / m 2 ⋅ K

P e l e c ' = 7,373   W / m

Portanto, a potência máxima é 7,373   W / m   .

Passo 3

O raio de isolamento crítico também não é afetado pela resistência de contato, portanto, ele é dado por:

r c r = k h = 0,13   W / m ⋅ K 15   W / m 2 ⋅ K = 0,00867   m = 8,67   m m

Portanto, o raio crítico é 8,67   m m   .

Resposta

P e l e c ' = 7,373   W / m

r c r = 8,67   m m

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