Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa - Capítulo 3.Problemas - Ex. 111

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Um arranjo experimental para medir a condutividade térmica de materiais sólidos envolve o uso de duas hastes longas que são equivalentes em todos os aspectos, exceto que uma é fabricada a partir de um material padrão de condutividade térmica k A conhecida, enquanto a outra é fabricada a partir do material cuja condutividade térmica k B é desejado. Ambas as hastes são fixadas em uma extremidade a uma fonte de calor de temperatura fixa T b , são expostas a um fluido de temperatura T ∞ e são equipadas com termopares para medir a temperatura a uma distância fixa x 1 da fonte de calor. Se o material padrão é alumínio, com k A = 180   W / m ⋅ K , e as medições revelam valores de T A = 77 ℃ e T B = 62 ℃ em x 1 para T b = 100 ℃ e T ∞ = 25 ℃ , qual é a condutividade térmica k B do material de teste?

Passo 1

Fala galera!! Bora resolver essa questão??

Para resolver essa questão, podemos começar fazendo as seguintes suposições:

(1) Condições de estado estacionário.

(2) Varetas são aletas infinitamente longas de área transversal uniforme.

(3) Coeficiente de transferência de calor uniforme.

(4) Propriedades constantes.

Os dados fornecidos nessa questão são:

Condutividade térmica k A = 180   W / m ⋅ K

Temperatura de A em x 1 : T x 1 = T A = 77 ℃

Temperatura de B em x 1 : T x 1 = T B = 62 ℃

Temperatura da fonte de calor: T b = 100 ℃

Temperatura do ambiente: T ∞ = 25 ℃

Passo 2

Nessa questão, podemos considerar que as hastes irão se comportar como aletas infinitas, logo, a distribuição de temperatura para um aleta infinita pode ser obtida na Tabela 3.4 e tem a seguinte forma:

θ θ b = T x - T ∞ T b - T ∞ = e - m x

Onde

m = h P k A c 1 / 2

Passo 3

Nos foi dito que na distância x = x 1 a temperatura na haste A é T A , portanto:

T A - T ∞ T b - T ∞ = e - m A x 1

ln ⁡ T A - T ∞ T b - T ∞ = - m A x 1

x 1 = - 1 m A ln ⁡ T A - T ∞ T b - T ∞

Onde

m A = h P k A A c 1 / 2

Também nos foi dito que na distância x = x 1 a temperatura na haste B é T B , portanto:

T B - T ∞ T b - T ∞ = e - m B x 1

ln ⁡ T B - T ∞ T b - T ∞ = - m B x 1

x 1 = - 1 m B ln ⁡ T B - T ∞ T b - T ∞

Onde

m A = h P k B A c 1 / 2

Passo 4

Como o ponto onde foi medido a temperatura é o mesmo, então, podemos dizer o seguinte:

- 1 m A ln ⁡ T A - T ∞ T b - T ∞ = - 1 m B ln ⁡ T B - T ∞ T b - T ∞

m A m B = ln ⁡ T A - T ∞ T b - T ∞ ln ⁡ T B - T ∞ T b - T ∞

Substituindo m A e m B , temos o seguinte:

h P k A A c 1 / 2 h P k B A c 1 / 2 = ln ⁡ T A - T ∞ T b - T ∞ ln ⁡ T B - T ∞ T b - T ∞

h P k A A c h P k B A c 1 2 = ln ⁡ T A - T ∞ T b - T ∞ ln ⁡ T B - T ∞ T b - T ∞

As hastes estão empostas ao mesmo coeficiente convectivo e também possuem as mesmas dimensões, logo, podemos fazer as seguintes simplificações:

1 k A 1 k B 1 2 = ln ⁡ T A - T ∞ T b - T ∞ ln ⁡ T B - T ∞ T b - T ∞

k B k A 1 2 = ln ⁡ T A - T ∞ T b - T ∞ ln ⁡ T B - T ∞ T b - T ∞

k B k A = ln ⁡ T A - T ∞ T b - T ∞ ln ⁡ T B - T ∞ T b - T ∞ 2

k B = k A ln ⁡ T A - T ∞ T b - T ∞ ln ⁡ T B - T ∞ T b - T ∞ 2

Passo 5

Agora que encontramos uma expressão para a condutividade térmica do material B , é só substituirmos os termos da expressão pelos dados fornecidos. Assim temos:

k B = k A ln ⁡ T A - T ∞ T b - T ∞ ln ⁡ T B - T ∞ T b - T ∞ 2

k B = 180   W / m ⋅ K ln ⁡ 77 ℃ - 25 ℃ 100 ℃ - 25 ℃ ln ⁡ 62 ℃ - 25 ℃ 100 ℃ - 25 ℃ 2

k B = 48,36   W / m ⋅ K

Portanto, a condutividade térmica do material B é 48,36   W / m ⋅ K .

Resposta

k B = 48,36   W / m ⋅ K

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