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Um fluido ideal incompressível escoa ao longo de duas paredes que formam um ângulo reto. O campo de velocidades é dado por v x = 2 a x ; v y = - 2 a y . Determinar:

  1. A equação das linhas de corrente
  2. As linhas isovelocidades
  3. A distribuição das pressões ao longo de Ox
  4. A distribuição das pressões ao longo da bissetriz

Passo 1

Item A)

As linhas de corrente são dadas por:

d x v x = d y v y

d x 2 a x = d y - 2 a y

d x x = - d y y

Integrando:

ln ⁡ x = - ln ⁡ y + C 1

x = e - ln ⁡ y + C 1

x = C y

Logo:

x y = C

Passo 2

A velocidade é dada por:

v → = 2 a ⋅ x ⋅ e → x - 2 a ⋅ y ⋅ e → y

O módulo é:

v 2 = 2 a x 2 + 2 a y 2

v 2 = 4 a 2 ( x 2 + y 2 )

v 2 4 a 2 = x 2 + y 2

As linhas de isovelocidade são dadas por:

x 2 + y 2 = v 2 4 a 2

Passo 3

Item C)

Vamos começar considerando que o fluido é ideal, incompressível. Isso nos permite aplicar equação de bernoulli:

v 2 2 g + p γ = K

Substituindo a velocidade:

4 a 2 x 2 + y 2 2 g + p γ = K

K   é uma constante, podemos encontra-la aplicando o ponto x , y = 0 . Nesta situação a pressão é a pressão inicial p 0 e a velocidade é nula.

K = p 0 γ

Chegamos na equação:

2 a 2 x 2 + y 2 g + p γ = p 0 γ

Isolando a pressão:

p = 2 a 2 ρ x 2 + y 2 - p 0

Para qualquer valor que pertença ao eixo O x temos que y = 0

p = 2 a 2 ρ x 2 - p 0

Passo 4

p = 2 a 2 ρ x 2 + y 2 - p 0

A bissetriz é quando x = y

p = 2 a 2 ρ x 2 + x 2 - p 0

Logo:

p = 4 a 2 ρ x 2 - p 0

Resposta

  1. x y = C
  2. x 2 + y 2 = v 2 4 a 2
  3. p = 2 a 2 ρ x 2 - p 0
  4. p = 4 a 2 ρ x 2 - p 0

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