Enunciado

Quando o fluido que sai por um bocal, como na Figura P3.49, for um gás em vez de água, a compressibilidade pode ser importante, especialmente se a pressão a montante p1 for alta e o diâmetro de saída d2 for pequeno. Neste caso, a diferença p1 - p2 não controla mais o fluxo e a vazão em massa do gás m alcança um valor máximo que depende de p1 e d2 e também da temperatura absoluta a montante T1 e da constante R do gás. Assim, funcionalmente, m= f(p1, d2, T1, R). (a) Usando análise dimensional, reescreva essa função em forma adimensional.(b) Um certo tubo tem d2 = 1 mm. Para escoamento de ar, as medidas mostram os seguintes valores de vazão em massa através do bocal:

Faça um gráfico desses dados na forma adimensional obtida na parte (a). O seu gráfico revela a relação funcional completa obtida na parte (a)?

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nesse problema, temos que analisar a vazão mássica de um gás escoando em um bocal.

A letra (a) nos pede para usar análise dimensional para escrever a função escrever m   ˙ =   f   ( p 1 ,   d 2 ,   T 1 ,   R ) como um adimensional.

Já a letra (b) nos pede para utilizar uma tabela que demonstra os valores de vazão mássica m   ˙ em um tubo de diâmetro d 2 = 1   m m variando com a temperatura T 1 e a pressão 1 para traçar um gráfico utilizando a função adimensional obtida em (a).

Nos próximos passos eu vou te ajudar a resolver esse problema, então vem comigo!

Passo 2

Em primeiro lugar, iremos resolver a letra (a).

Vamos olhar de novo a função que define a vazão mássica do gás:

m   ˙ =   f   ( p 1 ,   d 2 ,   T 1 ,   R )

Note que nessa função temos n = 5 variáveis e j = 4 dimensões primárias ( M ,   L   T , Θ ). Por análise dimensional, sabemos que isso quer dizer que teremos apenas 1 grupo Pi, que será:

Π 1 = m ˙ R T 1 p 1 d 2 ²

Passo 3

Pra finalizar a questão, vamo resolver a letra (b).

Nesse passo, iremos plotar um gráfico de Π 1 em função da temperatura T 1 do gás

Lembre que temos um diâmetro d 2 = 0,001   m e que, para o ar, R = 287   J / k g ∙ K .

Desta forma, podemos calcular as velocidades Π 1 com base nos valores de vazão mássica m ˙ , temperaura T 1 e pressão p 1 apresentados na Tabela que ilustra o problema.

A tabela abaixo demonstra os resultados cálculos que fizemos para cada conjunto de valores m ˙ , T 1 , p 1 :

O enunciado nos fala pra traçar um gráfico, mas podemos perceber que o valor de Π 1 é, na prática, uma constante cujo valor parece ser aproximadamente 54,3 .

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

(a) A forma adimensional para a função apresentada no enunciado é Π 1 = m ˙ R T 1 p 1 d 2 ²

(b) Π 1 é, na prática, uma constante cujo valor parece ser aproximadamente 54,3

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