Enunciado

Uma folha quadrada (100 mm x 100 mm) de um polímero, com espessura de 1 mm, está suspensa em uma balança de precisão no interior de uma câmara caracterizada por uma temperatura e umidade relativa de T = 300 K e φ = 0, respectivamente. Subitamente, no tempo t = 0, a umidade relativa da câmara é elevada para φ = 0,95. A massa medida da folha aumenta em 0,012 mg em 24 horas e em 0,016 mg em 48 horas. Determine a solubilidade e a

difusividade mássica do vapor de água no polímero. Experimentos preliminares indicaram que a difusividade mássica é maior do que 7 ×   10 - 13 m 2 s ..

Passo 1

Respirem fundo galerinhaa !

Aparentemente é difícil, mas nós vamos desvendar juntos !!

Bom, o problema nos pediu para determinar a solubilidade e a difusividade mássica do vapor de água no polímero, ok?

Então, a primeira coisa a fazer é calcular o Fourier para saber se podemos fazer uma aproximação ou não !

Lembrando que:

F o m = D A B t L 2

Sabendo que:

D A B ≥ 7 ×   10 - 13 m 2 s

t 1 = 24   h × 3600   s 1 h = 86400   s

t 1 = 48   h × 3600   s 1 h = 172800   s

L = t 2 = 0,0005   m         m e i o   d a   n o s s a   f o l h a !

Vamos usar o menor tempo e o menor D A B possível:

F o m = 7 ×   10 - 13 86400 0,0005 2 = 0,24

Então, para todos os casos nós teremos F o m ≥ 0,1 e se é assim podemos usar uma aproximação de um termo para a solução em série, ok?

Passo 2

Beleza !! Se já sabemos isso podemos voltar lá no capítulo 5 e descobrir a relação para a perda de calor unidimensional e fazer uma analogia para este caso aqui!!

Quando fazemos isso nós achamos:

∆ M A ∆ M A , 0   = 1 - sin ⁡ ξ 1 ξ 1 C 1 e - ξ 1 2 . F o m

Nós queremos achar D A B e S, que está e função de ρ A , s , não é? Então vamos fazer umas manipulações aqui !

Sabemos que:

γ * = C A x , t - C A , s C A , i - C A , s = ρ A x , t - ρ A , s ρ A , i - ρ A , s

Se multiplicarmos o volume em cada termo, achamos a relação em função da variação da massa:

γ * = ρ A x , t - ρ A , s V ρ A , i - ρ A , s V = ∆ M A ∆ M A , 0  

Dessa equação nós concluímos que:

∆ M A , 0   = ρ A , i - ρ A , s V

A perda de massa pode ser definida como:

∆ M A , 0   = ( ρ A , i - ρ A , s ) V

Sabemos que incialmente o papel estava seco:

ρ A , i = 0

Então:

∆ M A , 0   = - ρ A , s V

Substituindo este valor e o número de Fourier na equação:

- ∆ M A ρ A , s V = 1 - sin ⁡ ξ 1 ξ 1 C 1 e - ξ 1 2 . D A B t L 2

Agora Achamos o que precisávamos!!

Passo 3

Quando temos o número de Biot tendendo a infinito, B i → ∞ , podemos olhar na Tabela 5.1 e achar que:

C 1 = 1,2733

ξ 1 = π 2 = 1,5707   r a d

Também sabemos que:

L = 0,0005   m

V = 10 - 5 m 3

Substituindo:

- ∆ M A ρ A , s 10 - 5 m 3 = 1 - sin ⁡ π 2 π 2 1,2733 e - π 2 2 . D A B t 0,0005 2

Quando t = 24   h :

- ∆ M A = 0,012 × 10 - 6   k g

Então:

0,012 × 10 - 6 ρ A , s 10 - 5 = 1 - sin ⁡ π 2 π 2 1,2733 e - π 2 2 . D A B 86400 0,0005 2             ( 1 )

Quando t = 4 8   h :

- ∆ M A = 0,01 6 × 10 - 6   k g

Então:

0,01 6 × 10 - 6 ρ A , s 10 - 5 = 1 - sin ⁡ π 2 π 2 1,2733 e - π 2 2 . D A B 172800 0,0005 2           ( 2 )

Resolvendo as duas simultaneamente:

D A B = 1,92 × 10 - 13 m 2 s           ∴           ρ A , s = 0,003848 k g m 3

D A B = 8,5 × 10 - 13 m 2 s           ∴           ρ A , s = 0,00 1976 k g m 3

Como o problema nos disse que D A B > 7 × 10 - 13 m 2 s nós vamos usar os últimos resultados !!

Mas nós ainda não temos a solubilidade, só que podemos usar a relação:

ρ A , s = M A S ∅ p A , s a t

Sabendo que:

M A = 18 k g k m o l

∅ = 0,95

E olhando a Tabela A – 6 para a agua saturada a 300 K:

p A , s a t = 0,03531   b a r

Substituindo:

0,001976 = 18 S 0,95 0,03531

S = 3,3 × 10 - 3 k m o l m 3 b a r

Resumindo:

D A B = 8,5 × 10 - 13 m 2 s           ∴           S = 3,3 × 10 - 3 k m o l m 3 b a r

E fiiiim !!!

Resposta

D A B = 8,5 × 10 - 13 m 2 s           ∴           S = 3,3 × 10 - 3 k m o l m 3 b a r

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