Enunciado

A forma incompressível da equação de Bernoulli, Equação (3.77), é precisa apenas para escoamentos com números de Mach menores que 0,3, aproximadamente. Para velocidades mais altas, a variação de densidade deve ser levada em conta. A hipótese mais comum para escoamento compressível é a de escoamento isentrópico de um gás perfeito, quando p = C ρ k , em que k = c p c v . Substitua essa relação na Equação (3.75), integre, e elimine a constante C. Compare seu resultado compressível com a Equação (3.77) e comente.

Passo 1

Vamos começar escrevendo a equação 3.75:

∂ V ∂ t d t + d p ρ + V d V + g d z = 0

Vamos considerar o regime permanente e, como foi dado no exercício, p = C ρ k , logo, d p = k C ρ k - 1 d ρ . Substituindo estes dados na equação 3.75:

k C ρ k - 1 d ρ ρ + V d V + g d z = 0

Integrando cada termo:

∫ k C ρ k - 1 d ρ ρ + ∫ V d V + ∫ g d z = ∫ 0

∫ k C ρ k - 2 d ρ + V 2 2 + g z = c o n s t a n t e

k C ρ k - 1 k - 1 + V 2 2 + g z = c o n s t a n t e

k C ρ k ρ ( k - 1 ) + V 2 2 + g z = c o n s t a n t e

Como p = C ρ k :

k p ρ ( k - 1 ) + V 2 2 + g z = c o n s t a n t e

Aqui nós podemos ver a principal diferença da relação incompressível que tem apenas p ρ .

Como p ρ = R T :

k R T ( k - 1 ) + V 2 2 + g z = c o n s t a n t e

Como c p = k R k - 1 :

c p T + V 2 2 + g z = c o n s t a n t e

Com isso nós obtemos o equivalente da equação de energia adiabática sem trabalho.

Resposta

c p T + V 2 2 + g z = c o n s t a n t e

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