Enunciado

Frangos com massa média de 1,7   k g   ( k = 0,45   W / m ⋅ K   e   α = 0,13 × 10 - 6   m 2 / s ) , inicialmente a uma temperatura uniforme de 15 ℃ , devem ser resfriados em salmoura agitada a - 7 ℃ . O coeficiente médio de transferência de calor entre o frango e a salmoura é determinado experimentalmente como 440   W / m 2 ⋅ K . Considerando que a densidade média do frango é 0,95   g / c m 3 e tratando o frango como um objeto esférico, determine as temperaturas no centro e na superfície do frango após 2 horas e 45 minutos. Além disso, determine se alguma parte do frango congelará durante esse processo.

Passo 1

Dados fornecidos:

Diâmetro da carcaça bovina: D = 24   c m = 0 , 24   m

A condutividade térmica da carcaça bovina:  k = 0,45   W / m ⋅ K  

Difusividade térmica da carcaça bovina: α = 0,13 × 10 - 6   m 2 / s

Coeficiente médio de transferência de calor: h = 440   W / m 2 ⋅ K

Temperatura inicial da carcaça bovina: T i = 15 ℃

Temperatura do ar: T ∞ = - 7 ℃ .

Temperatura final no centro da carcaça bovina: T o = 4 ℃

Massa do frango: m = 1,7   k g = 1700   g  

Densidade do frango: ρ = 0,95   g / c m 3

Tempo de resfriamento: t = 2 horas e 45 minutos = 9900   s

Passo 2

Podemos começar calculando o volume do frango usando a seguinte equação:

V = m ρ

Aqui,  m  é a massa do frango e  ρ a densidade do frango. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

V = 1700   g 0,95   g / c m 3 = 1789,47   c m 3

Vamos considerar o frango como um objeto esférico como proposto no enunciado. Assim, podemos calcular o raio do frango, usando a seguinte equação:

V = 4 3 π r o 3

Reorganizando isolando o raio, temos:

r o = 3 V 4 π 3

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

r o = 3 × 1789,47   c m 3 4 π 3 = 7,53   c m = 0,0753   m

Passo 3

Agora, vamos calcular o número do Biot usando a seguinte equação:

B i = h r o k

Aqui,  h  é o coeficiente de transferência de calor,  r o é o raio do pedaço de frango e  k é a condutividade térmica. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

B i = 440   W / m 2 ⋅ K × 0,0753   m 0,45   W / m ⋅ K

B i = 73,64

Passo 4

Temos também que calcular o número de Fourier. Podemos fazer isso usando a seguinte equação:

τ = α t r o 2

Aqui,  α é a difusividade térmica e  t  é o tempo em segundos. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

τ = 0,13 × 10 - 6   m 2 / s × 9900   s 0,0753   m 2

τ = 0,227

Passo 5

Aqui,  τ > 0,2 , portanto, a solução de aproximação de um termo é aplicável.

Precisamos obter o valor das constantes λ 1 e A 1 para esfera, correspondendo ao número de Biot 73 , 6 4 da tabela 4-2 "coeficientes usados ​​em um termo solução de aproximação da condução de calor transiente unidimensional em paredes planas, cilindros e esferas".

Por meio de interpolação para os números de Biot entre 50 e 100 , temos que λ 1 é o seguinte:

λ 1 = 3,0788 + 3,1102 - 3,0788 × 73,64 - 50 100 - 50

λ 1 = 3,0936

Por meio de interpolação para os números de Biot entre 50 e 100 , temos que A 1 é o seguinte:

A 1 = 1,9962 + 1,9990 - 1,9962 × 73,64 - 50 100 - 50

A 1 = 1,9975

Passo 6

Agora, vamos determinar a temperatura centro do frango após em 2h 45 min de resfriamento, usando a seguinte equação:

θ o , e s f e r a = T o - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ

Aqui,  T ∞ é a temperatura ambiente,  T o é a temperatura central final e  T i é a temperatura inicial. Isolando T o , temos:

T o = T ∞ + T i - T ∞ A 1 e - λ 1 2 τ

Substituindo os termos pelos dados conhecidos, temos:

T o = - 7 ℃ + 15 ℃ - - 7 ℃ × 1,9975 × e - 3,0936 2 × 0,227

T o = - 7 ℃ + 22 ℃ × 0,2277

T o = - 2 ℃

Assim, a temperatura central do frango é  - 2 ℃ .

Passo 7

Podemos determine a temperatura da superfície do frango em 2h 45 min, usando a seguinte equação:

θ e s f e r a = T ( r , t ) - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ sen ⁡ λ 1 r / r o λ 1 r / r o

Como estamos interessados na superfície, em que r = r o , podemos reescrever a equação da seguinte forma:

T ( r , t ) - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ sen ⁡ λ 1 r o / r o λ 1 r o / r o

T ( r , t ) - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ sen ⁡ λ 1 λ 1

Temos também que:

T o - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ

Substituindo na equação acima, temos:

T ( r , t ) - T ∞ T i - T ∞ = T o - T ∞ T i - T ∞ × sen ⁡ λ 1 λ 1

T ( r , t ) - T ∞ = T o - T ∞ × sen ⁡ λ 1 λ 1

T ( r , t ) = T ∞ + T o - T ∞ × sen ⁡ λ 1 λ 1

Aqui  T ( r , t ) é a temperatura na superfície. Substituindo os termos pelos dados conhecidos, temos:

T ( r , t ) = - 7 ℃ + - 2 ℃ - - 7 ℃ × sen ⁡ 3,0936 3,0936

T ( r , t ) = - 6,92 ℃

Assim, a temperatura da superfície do frango é  - 6,92 ℃ .

Passo 8

A temperatura de congelamento do frango é - 2,8 ℃ . Portanto, a superfície externa do frango irá congelar, pois sua temperatura está abaixo da temperatura de congelamento do frango. O centro do frango não congela, pois sua temperatura está acima da temperatura de congelamento do frango.

Resposta

T o = - 2 ℃

T ( r , t ) = - 6,92 ℃

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