Enunciado

Uma barra de ferro longa ( ρ = 7870   k g / m 3 ,   c p = 447   J / k g ⋅ K ,   k = 80,2   W / m ⋅ K   e   α = 23,1 × 10 - 6   m 2 / s ) com diâmetro de 25   m m é inicialmente aquecida a uma temperatura uniforme de 700 ℃ . A barra de ferro é, então, resfriada em uma banho de água mantido em temperatura constante de 50 ℃ e coeficiente de transferência de calor por convecção de 128   W / m 2 ⋅ K . Determine o tempo necessário para a temperatura da superfície da barra de ferro esfriar a 200 ℃ .

Passo 1

Dados fornecidos no enunciado:

Densidade da barra de ferro: ρ = 7870   k g / m 3

Calor específico da barra de ferro: c p = 447   J / k g ⋅ K

Condutividade térmica da barra de ferro: k = 80,2   W / m ⋅ K

Difusividade térmica da barra de ferro: α = 23,1 × 10 - 6   m 2 / s

Coeficiente de transferência de calor por convecção: h = 128   W / m 2 ⋅ K

Diâmetro da barra de ferro: D = 25   m m = 0,0 25   m

Raio da barra de ferro: r 0 = 0,0 125   m

Temperatura inicial da barra de ferro: T i = 700 ℃

Temperatura do ar ambiente: T ∞ = 50 ℃

Temperatura final na superfície da barra de ferro: T r , t = 200 ℃

Passo 2

Para resolver essa questão, podemos começar calculando o número Biot para o processo de resfriamento da barra de ferro usando a seguinte relação:

B i = h r o k

Aqui, o  h é o coeficiente de transferência de calor por convecção,  r o é o comprimento característico da barra e k é o coeficiente de condução da barra. Substituindo os termos pelos dados fornecidos, temos:

B i = 128   W / m 2 ⋅ K × 0,0125   m 80,2   W / m ⋅ K

B i = 0 , 02

Passo 3

Podemos calcular o número de Fourier usando a solução para condução transiente unidimensional em um cilindro submetido a convecção em todas as superfícies. Para isso precisamos coeficientes λ 1 , A 1 e J o ( λ 1 r / r o ) .

Para o número de Biot B i = 0,02 podemos encontrar na tabela 4-2 os valore de λ 1 e A 1 . Assim, temos que:

λ 1 = 0 , 1995

A 1 = 1,0 05

Como estamos interessado na superfície, r = r o então J o ( λ 1 ) . Podemos encontra o valor de J o ( λ 1 ) na tabela 4-3. Assim, temos que:

J o 0,1995 ≅ J o 0 , 2 = 0,9900

A equação para calcular o número de Fourier é a seguinte:

θ c i l i n d r o = T ( r , t ) - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ J o ( λ 1 )

Substituindo os termos pelos dados conhecidos, temos:

200 ℃ - 50 ℃ 700 ℃ - 50 ℃ = 1,005 × e - 0,1995 2 × τ × 0,9900

0,2308 = 0,99495 × e - 0,0398 × τ

0,23194 = e - 0,0398 × τ

ln ⁡ 0,23194 = - 0,0398 × τ

τ = 36,71

Como  36,71 > 0,2 , apenas um termo método de aproximação é válido.

Passo 4

Podemos calcular o tempo necessário para resfriar a superfície do cilindro para 200 ℃ usando a expressão para o número de Fourier. A expressão é a seguinte:

τ = α t r o 2

Reescrevendo ela isolando o tempo, temos:

t = τ r o 2 α

Aqui  α é a difusividade térmica e r o é o raio. Substituindo os termos da equação pelos dados conhecido, temos:

t = 36,71 × 0,0125   m 2 23,1 × 10 - 6   m 2 / s

t = 248,34   s

Assim, o tempo necessário para esfriar a superfície do cilindro para  200 ℃ é  248,34   s .

Resposta

t = 248,34   s

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