Enunciado

Camadas de placas de carne ( k = 0,47   W / m ⋅ K   e   α = 0,13 × 10 - 6   m 2 / s ) de 23   c m de espessura, inicialmente a uma temperatura uniforme de 7 ℃ , devem ser congeladas por ar refrigerado a - 30 ℃ fluindo a uma velocidade de 1,4   m / s . O coeficiente médio de transferência de calor entre a carne e o ar é 20   W / m 2 ⋅ K . Partindo do princípio que o tamanho das placas de carne é grande em relação à sua espessura, determine o tempo necessário para que a temperatura no centro das placas diminua para - 18 ℃ . Além disso, determine a temperatura da superfície da placa de carne nesse momento.

Passo 1

Dados fornecidos:

Espessura das placas de carne: e = 23   c m = 0 , 23   m

A condutividade térmica das placas de carne:  k = 0,47   W / m ⋅ K  

Difusividade térmica das placas de carne: α = 0,13 × 10 - 6   m 2 / s

Coeficiente médio de transferência de calor: h = 20   W / m 2 ⋅ K

Temperatura inicial das placas de carne: T i = 7 ℃

Temperatura do ar: T ∞ = - 30 ℃

Temperatura final no centro das placas de carne: T x , t = - 18 ℃

Passo 2

Para resolver essa questão, podemos considerar a placa de carne como uma parede plana muito grande de meia espessura como L = 0,115   m .

Agora, vamos calcular o numero de Biot usando a seguinte expressão:

B i = h L k

Aqui,  B i é o número de Biot,  h  é o coeficiente de transferência de calor por convecção,  k  é a condutividade térmica e  L  é a meia espessura da placa. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

B i = 20   W / m 2 ⋅ K × 0,115   m 0,47   W / m ⋅ K  

B i = 4,89

Passo 3

Agora, precisamos determine os coeficientes utilizados na solução aproxima do termo da condução de calor transiente unidimensional para uma parede plana com número de Biot  4,89 usando a fórmula de interpolação.

Para encontrar λ 1 , podemos interpolar linearmente os valores do coeficiente entre 4 e 5 para obter valor em 4,89 da tabela 4-2 para a parede plana.

λ 1 = 1,2646 + 1,3138 - 1,2646 × 4,89 - 4 5 - 4

λ 1 = 1,308566

Para encontrar A 1 , podemos interpolar linearmente os valores do coeficiente entre 4 e 5 para obter valor em 4,89 da tabela 4-2 para a parede plana.

A 1 = 1,2287 + 1,2403 - 1,2287 × 4,89 - 4 5 - 4

A 1 = 1,239066

Passo 4

Podemos calcular o número de Fourier usando a solução para condução transiente unidimensional em uma placa plana. A equação para calcular o número de Fourier é a seguinte:

θ o , p l a c a = T o - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ

Aqui,  T o é a temperatura no centro da placa após o tempo  t T i é a temperatura inicial da placa,  T ∞ é a temperatura ambiente e  τ é o número de Fourier.

Substituindo os termos pelos dados conhecidos, temos:

- 18 ℃ - - 30 ℃ 7 ℃ - - 30 ℃ = 1,239066 × e - 1,308566 2 τ

0,3243 = 1,239066 × e - 1,7234 τ

τ = ln ⁡ 0,26175 - 1,7234

τ = 0,7828

Como  0,7828 > 0,2 o método com um termo de aproximação é válido.

Passo 5

Então, o tempo necessário para que a temperatura no centro placas de carne caia para - 18 ℃ , pode ser calculado da seguinte forma:

τ = α t L 2

Reescrevendo ela isolando o tempo, temos:

t = τ L 2 α

Aqui  α é a difusividade térmica e L é o comprimento característico. Substituindo os termos da equação pelos dados conhecido, temos:

t = 0,7828 × 0,115   m 0,13 × 10 - 6   m 2 / s

t = 79631,61   s

t = 22   h o r a s   e   7   m i n u t o s

Portanto, o tempo necessário para atingir a temperatura central de  - 18 ℃ na placa de carne é  22   h o r a s   e   7   m i n u t o s .

Passo 6

Podemos calcular a temperatura da superfície da placa de carne após o tempo  79631,61   s , usando a seguinte equação:

θ p l a c a = T x , t - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ cos ⁡ λ 1 x L

Como estamos interessados na superfície, onde x = L , a equação fica da seguinte forma:

T s - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ cos ⁡ λ 1 L L

T s - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ cos ⁡ λ 1

Temos também que:

T o - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ

Substituindo na equação, temos:

T s - T ∞ T i - T ∞ = T o - T ∞ T i - T ∞ × cos ⁡ λ 1

T s - T ∞ = T o - T ∞ × cos ⁡ λ 1

Podemos rescreva isolando a temperatura na superfície. Assim temos:

T s = T ∞ + T o - T ∞ × cos ⁡ λ 1

Substituindo os termos da equação pelos dados conhecidos, temos:

T s = - 30 ℃ + - 18 ℃ - - 30 ℃ × cos ⁡ 1,308566

T s = - 26,89 ℃

Portanto, a temperatura na superfície da placa de carne é  - 26,89 ℃ .

Resposta

t = 22   h o r a s   e   7   m i n u t o s

T s = - 26,89 ℃

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