Enunciado

Os gases de escape de uma fábrica são expelidos por uma chaminé de exaustão de 10 m de altura com diâmetro externo de 1 m. Os gases de escape são descarregados a uma taxa de 0,125 kg/s, enquanto a queda de temperatura entre a entrada e a saída da chaminé é 30°C e o calor específico a pressão constante dos gases de escape é 1.600 J/kg.K. Em um dia calmo, a temperatura do ar em repouso é 33°C. A radiação solar incidente sobre a superfície externa da chaminé está a uma taxa de 500 W/m2, e tanto a emissividade quanto a absortividade solar da superfície externa são 0,9. Determine a temperatura externa da superfície. Suponha que a temperatura de filme é 60°C.

Passo 1

Temos as dimensões da chaminé L = 10 m e D = 1 m. A vazão de gás que sai da chaminé é m ˙ = 0,125 kg/s e o ar é aquecido 30°C ao passar pelo duto. Também sabemos que a temperatura do ar é T ∞ = 33°C = 306 K, que a radiação solar incidente é de 500 W/m2 e que a emissividade da chaminé é ε = 0,9, e sua absortividade é ∝ = 0,9. O exercício pede para considerar as propriedades do ar a 60°C. Nesta temperatura as propriedades do ar são:

ϑ = 1 , 8 96 x 10 - 5   m 2 / s

P r = 0,720 2

k = 0,02 8 0 8   W / m . K

O que vamos fazer é: calcular o calor perdido pelos gases ao longo da chaminé com q ˙ = m ˙ c p ∆ T ; Em seguida, vamos determinar a taxa de radiação solar absorvida pelo sistema e as taxas de calor perdidas por convecção natural e radiação; fazer um balanço de energia com as taxas de entrada e saída e, igualar este valor com o calor perdido pelos gases no interior da chaminé; no final, nossa única incógnita deve ser a temperatura da superfície (que como veremos faz parte das equações de taxa de transferência por radiação e convecção). Vamos lá?

Passo 2

Vamos começar calculando a energia perdida pelos gases no interior da chaminé:

q ˙ = m ˙ c p ∆ T

q ˙ = 0,125   x   1600   x   ( - 30 )

q ˙ = - 6.000   W

Agora, iremos calcular as taxas de calor que entram no sistema e as que saem, sabendo que ao final:

q ˙ e n t - q ˙ s a i = - 6.000   W

A chaminé recebe radiação solar e tem absortividade ∝ = 0,9. Tendo isso em mente, a taxa de calor que entra no sistema é:

q ˙ e n t = 0,9 x 500 x A

q ˙ e n t = 450   x   ( π   x   D   x   L )

q ˙ e n t = 450   x   ( π   x   1   x   10 )

q ˙ e n t = 14.137,17   W

Vamos para as perdas de energia ao longo do tubo. Iremos considerar que ocorre transferência de calor por convecção natural e emissão de radiação a partir da superfície externa da chaminé.

A taxa de transferência de calor por convecção natural pode ser calculada por:

q ˙ c o n v = h A ( T s - T ∞ )

Temos condições de calcular a área superficial do duto, mas ainda precisamos do coeficiente convectivo e da temperatura da superfície. Como já combinamos vamos encontrar a temperatura apenas no final do exercício. Então, o coeficiente convectivo é nosso próximo passo. Uma das maneiras de encontrá-lo é utilizando a correlação de Nusselt para um cilindro vertical:

N u = h L c k = 0,1 R a 1 / 3

Precisamos dos adimensionais R a e P r . Já temos o número de Prandtl da tabela de propriedades do ar. Vamos para o número de Rayleigh:

R a = g β T s - T ∞ L c 3 ϑ 2 P r  

R a = 9,81 x 1 33 3 x T s - 306 x 10 3 1 , 8 96 x 10 - 5 2 x 0,720 2

R a = 5,9 x 10 10 x ( T s - 306 )

Já temos todas as variáveis necessárias para o número de Nusselt. Então vamos calcular h :

h L c k = 0,1 R a 1 / 3

h = k L c 0,1 R a 1 / 3

h = 0,02 8 0 8 10 x 0,1 x ( 5,9 x 10 10 x ( T s - 306 ) ) 1 / 3

h = 1,093 x T s - 3 06 1 / 3   W / m 2 . K

Substituindo estes valores na equação da taxa de transferência:

q ˙ c o n v = h A ( T s - T ∞ )

q ˙ c o n v = 1,093 x T s - 306 1 3 x π x D x L x ( T s - 3 06 )

q ˙ c o n v = 34,35 x T s - 3 06 4 / 3   W

Iremos agora para o cálculo da perda de energia por radiação.

q ˙ r a d = ε σ A ( T s 4 - T ∞ 4 )

q ˙ r a d = 0,9 x 5,67 x 10 - 8 x π x D x L x ( T s 4 - 306 4 )

q ˙ r a d = 1,6 x 10 - 6 x ( T s 4 - 306 4 )   W

Portanto, a taxa de perda de energia é:

q ˙ s a i = q ˙ c o n v + q ˙ r a d

q ˙ s a i = 1,6 x 10 - 6 x T s 4 - 306 4 + 25,65 x T s - 3 06 5 / 4

Passo 3

Nosso balanço de energia fica:

q ˙ e n t - q ˙ s a i = - 6.000   W

14.137,17   W - 1,6 x 10 - 6 x T s 4 - 306 4 + 34,35 x T s - 306 4 / 3 = - 6.000   W

1,6 x 10 - 6 x T s 4 - 306 4 + 34,35 x T s - 306 4 / 3 = 20.137,17   W

T s = 36 0,6   K = 87 , 6 ° C

Resposta

A temperatura da superfície externa é T s = 360,6   K = 87,6 ° C .

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