Enunciado

Duas esferas concêntricas com raios de 5 cm e 10 cm estão tendo as temperaturas de superfície mantidas a 200°C e 100°C, respectivamente. O espaço entre as duas superfícies esféricas concêntricas é preenchido com gás nitrogênio a 1 atm. Se ambas as superfícies das esferas concêntricas são pretas ( ε = 1), determine a taxa de transferência de calor na superfície interna.

Passo 1

Então, basicamente temos duas esferas com nitrogênio entre elas e queremos determinar a taxa de transferência de calor da menor para a maior. Sabemos que as temperaturas são T 1 = 200°C e T 2 = 100°C e que a emissividade é 1.

Vamos então determinar a perda de calor por convecção e radiação e, no final, a soma deles é a taxa total de transferência que o exercício pede. Pronto? Vamos lá!!!

Passo 2

Como primeiro passo vamos determinar a temperatura de filme do nitrogênio. Para este caso:

T f = T 1 + T 2 2

T f = 100 + 200 2

T f = 150 ° C = 423   K

Para esta temperatura as propriedades do nitrogênio são:

ϑ = 2,851 x 10 - 5   m 2 / s

P r = 0,7025

k = 0,03416   W / m . K

Podemos então começar a calcular a taxa de transferência por convecção natural. Ela é calculada por:

q ˙ c o n v = k e f π D i n t D e x t D e x t - D i n t 2 ( T 1 - T 2 )

Então, ainda precisamos da condutividade térmica efetiva. Podemos encontrá-la da seguinte forma:

k e f = 0 , 74 k P r 0,861 + P r 1 4 ( F e s f R a ) 1 / 4

Em que F e s f é o fator geométrico da esfera:

F e s f = D e x t - D i n t 2 D i n t D e x t 4 D i n t - 7 5 + D e x t - 7 5 5

Portanto, vamos primeiro calcular F e s f ; depois k e f e por fim, q ˙ c o n v . Vamos lá?

F e s f = 0,1 - 0,05 2 0,1 x 0,05 4 0,05 - 7 / 5 + 0,1 - 7 / 5 5

F e s f = 0,006268

Antes de calcular K e f vamos determinar o número de Rayleigh:

R a = g β T s - T ∞ L c 3 ϑ 2 P r  

R a = 9,81 x 1 42 3 x 20 0 - 10 0 x 0,1 - 0,05 2 3 2,851 x 10 - 5 2 x 0,7025

R a = 31.318

Agora k e f :

k e f = 0,74 x 0,03416 x 0,7025 0,861 + 0,7025 1 4 x ( 0,006268 x 31318 ) 1 / 4

k e f = 0,078   W / m K

Substituindo estes valores na equação da taxa de transferência:

q ˙ c o n v = k e f π D i n t D e x t D e x t - D i n t 2 ( T 1 - T 2 )

q ˙ c o n v = 0,078 x π x ( 0,1 x 0,05 ) 0,1 - 0,05 2 ( 200 - 100 )

q ˙ c o n v = 4,9   W

Passo 3

Resta ainda determinar o calor transferido por radiação. Para um espaço entre duas superfícies:

q ˙ r a d = σ A T s 4 - T ∞ 4 1 ε 1 + 1 ε 2 - 1

Para o nosso exercício ε 1 = ε 2 = 1 . Então:

q ˙ r a d = 5,67 x 10 - 8 x π x 0,05 x 0,05 x 473 4 - 373 4 1 1 + 1 1 - 1

q ˙ r a d = 13,8   W

Portanto, a taxa de transferência na superfície interna é:

q ˙ t o t a l = q ˙ r a d + q ˙ c o n v

q ˙ t o t a l = 13,8 + 4,9

q ˙ t o t a l = 18,7   W

Resposta

A taxa transferida pela superfície interna é q ˙ t o t a l = 18,7   W .

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