Enunciado

O gerador de potência elétrica de um satélite em órbita é composto por uma fonte de calor cilíndrica e longa, feita de urânio, que se encontra no interior de um recipiente de seção transversal quadrada. A única forma do calor gerado pelo urânio deixar o recipiente é através de quatro filas de módulos termoelétricos do Exemplo 3.13. Os módulos termoelétricos geram potência elétrica e também emitem radiação para o espaço, caracterizado por T v i z = 4   K . Considere a situação na qual há 20 módulos em cada fila, ou seja, um total de M = 4   .   20   =   80 módulos. Os módulos estão ligados em série com uma carga elétrica de R e ,   c a r g a = 250   V e tem uma emissividade de ε = 0,93 . Determine a potência elétrica gerada para E g = 1 , 10 e 100   k W . Também determine as temperaturas superficiais dos módulos para as três taxas de geração de energia térmica.

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver essa questão? Partiu!

Determinar a potência elétrica gerada para as diferentes taxas de geração… Vamos nessa!

Agora vamos lembrar que para calcular nossa potência podemos usar a fórmula:

P = I 2   .   R e ,   c a r g a

Então precisamos encontrar esse I , beleza? Pra isso precisamos do:

R t ,   c o n d = L N . A . k

R t ,   c o n d = 2,5   .   10 - 3 100   .   1,2   .   10 - 5   .   1,2

R t ,   c o n d = 1,736   K / W

Agora precisaremos usar as equações 3.125 e 3.126 do livro… Tudo em prol da corrente, vamos lá:

q 1 = 1 R t ,   c o n d   .   T 1 - T 2 + I   .   S p - n ,   e f f   .   T 1 - I 2   .   R e ,   e f f

q 1 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 1 - I 2   .   4

q 2 = 1 R t ,   c o n d   .   T 1 - T 2 + I   .   S p - n ,   e f f   .   T 2 - I 2   .   R e ,   e f f

q 2 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 2 - I 2   .   4

Passo 2

Agora vamos encontrar quem é o nosso q 2 :

q 2 = T 2 - T ∞ R r a d ,   c o n v

q 2 = T 2 - T s u r   .   h r   .   W ²

q 2 = T 2 - 4 .   h r   . 0,054 ²

O h r também é uma função de T 2 , então vamos substituí-lo:

q 2 = T 2 - 4   .   0,054 ²   .   h r

q 2 = T 2 - 4   .   0,054 ²   .   ε . σ . T 2 + T s . T 2 ² + T s ²

q 2 = T 2 - 4   .   0,054 ²   .   0,93   .   5,67   .   10 - 8 . T 2 + 4 . T 2 ² + 4 ²

q 2 = T 2 - 4   .   0,00292   .   5,2   .   10 - 8 . T 2 + 4 . T 2 ² + 16

Se a nossa energia produzida é igual a nossa energia dissipada, vamos ter que:

I 2   .   R e ,   c a r g a = M   .   I   .   S p - n ,   e f f   .     T 1 - T 2 - 2   .   I ²   .   R e ,   e f f

I 2   .   250 = 80   .   I   .   0,1435   .     T 1 - T 2 - 2   .   I ²   .   4

I 2   = 80 250   .   I   .   0,1435   .     T 1 - T 2 - 8   .   I ²

I 2   =   I   .   0,1435   .   0,32   .     T 1 - T 2 - 8   .   0,32   .   I ²

I 2   =   I   .   0,046   .     T 1 - T 2 - 2,56   .   I ²

Passo 3

E ainda está faltando o nosso q 1 , não podemos esquecer dele! Podemos encontrar ele por essa equação aqui olha só:

q 1 = E g M

Vamos começar com o nosso E g = 1   k W , ok?

q 1 = 1000 80

q 1 = 12,5   W

Para o nosso E g = 10   k W , o q 1 será:

q 1 = 10000 80

q 1 = 125   W

E por último, para o nosso E g = 100   k W , o q 1 será:

q 1 = 100000 80

q 1 = 1250   W

Nós temos três valores de q 1 , então vamos ter três valores diferentes de I e de T 2 e de P , certo?

Passo 4

Agora podemos montar o que achamos em um sistema de três equações e três incógnitas, começando pelo primeiro valor de q 1 , olha só:

12,5 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 1 - I 2   .   4

T 2 - 4   .   0,00292   .   5,2   .   10 - 8 . T 2 + 4 . T 2 ² + 16 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 2 - I 2   .   4

I 2   =   I   .   0,046   .     T 1 - T 2 - 2,56   .   I ²

Sistema a gente já está acostumado a resolver, né? Apesar deste ser mais complexo, a gente consegue tranquilo… E resolvendo esse carinha aí vamos ter que:

I = 0,10   A T 2 = 534   K

Agora é só retornar lá na nossa equação da potência:

P = I 2   .   R e ,   c a r g a

P = 0,10 2   .   250

P = 2,5   W

Passo 5

Agora vamos para o segundo valor de q 1 , repetindo o mesmo procedimento…

Montar o sisteminha:

125 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 1 - I 2   .   4

T 2 - 4   .   0,00292   .   5,2   .   10 - 8 . T 2 + 4 . T 2 ² + 16 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 2 - I 2   .   4

I 2   =   I   .   0,046   .     T 1 - T 2 - 2,56   .   I ²

Resolvendo vamos ter que:

I = 0,67   A T 2 = 947   K

E usando a equação da potência:

P = I 2   .   R e ,   c a r g a

P = 0,67 2   .   250

P = 112,23   W

E pra fechar…

Passo 6

Vamos para o terceiro valor de q 1 , repetindo o mesmo processo…

Montar o sisteminha:

1250 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 1 - I 2   .   4

T 2 - 4   .   0,00292   .   5,2   .   10 - 8 . T 2 + 4 . T 2 ² + 16 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 2 - I 2   .   4

I 2   =   I   .   0,046   .     T 1 - T 2 - 2,56   .   I ²

Resolvendo teremos:

I = 3,99   A T 2 = 1671   K

E usando a equação da potência:

P = I 2   .   R e ,   c a r g a

P = 3,99 2   .   250

P = 3980   W

Uhull! Conseguimos!

Resposta

Para E g =   1   k W :

I = 0,10   A T 2 = 534   K P = 2,5   W

Para E g =   10   k W :

I = 0,67   A T 2 = 947   K P = 112,23   W

Para E g =   100   k W :

I = 3,99   A T 2 = 1671   K P = 3980   W

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Filas de módulos termoelétricos do Exemplo 3.13 estão fixadas na placa plana absorvedora do Problema 3.108. As filas de módulos estão separadas por L s e p = 0,5m e a parte inferior dos módulos é resf
Determine a distância de separação L entre duas placas paralelas, acima da qual a resistência térmica associada às colisões moléculas-superfície R t ,m - s é menor do que 1 % da resistência associada
Determine o fluxo térmico condutivo através de várias camadas planas que estão submetidas a temperaturas nas extremidades de T s ,1 = 301K e T s ,2 = 299K , e encontram-se a pressão atmosférica. Suges
Quando levados a altas temperaturas, muitos combustíveis líquidos convencionais se dissociam em hidrogênio e outros componentes. Desta maneira, a vantagem de uma célula a combustível do tipo óxido sól
Um iglu é construído na forma de um hemisfério, com raio interno de 1,8 m e paredes de neve compactada com uma espessura de 0,5 m. No interior do iglu, o coeficiente de transferência de calor nas supe