Enunciado

Considere a transferência de calor em um antebraço, que pode ser aproximado por um cilindro de músculo de raio 50   m m (desprezando a presença dos ossos), com uma camada externa de pele e gordura com espessura de 3   m m . Há geração de calor metabólica e perfusão no interior do músculo. A taxa de geração de calor metabólica, a taxa de perfusão, a temperatura arterial, e as propriedades do sangue, do músculo e da camada de pele/gordura são as mesmas do Exemplo 3.12. O ambiente e a vizinhança são os mesmos do ambiente ar no Exemplo 3.12.

  1. Escreva a equação do calor-bio em coordenadas radiais. Escreva as condições de contorno que expressam simetria no eixo central do antebraço e temperatura especificada na superfície externa do músculo. Resolva a equação diferencial e aplique as condições de contorno para encontrar uma expressão para a distribuição de temperaturas. Note que as derivadas das funções de Bessel modificadas são dadas na Seção 3.6.4.
  2. Iguale o fluxo térmico na superfície externa do músculo ao fluxo térmico através da camada pele/gordura e para o ambiente, para determinar a temperatura na superfície externa do músculo.
  3. Encontre a temperatura máxima no antebraço.

Passo 1

Opa! Fala aí! Partiu resolver essa questão! Ela parece ser grande, mas a gente dá conta!

Bom, ela faz referência ao exemplo 3.12, e nos dá três letrinhas para resolver… Vamos começar pelo começo então… A letra a, que que a gente resolva a equação diferencial e depois aplique as nossas condições de contorno, então vamos fazer isso com a essa equação aqui olha:

1 r   .   d d r   .   r   .   d T d r + q m + ω . ρ b . c b . T a - T k = 0

Estamos trabalhando com condições de simetria na linha central, então nossa temperatura fica assim, olha só:

d T d r | r = 0   = 0

T ( r 1 ) = T i

E se a gente tem um excesso de temperatura com essa cara aqui:

θ ≡ T - T a - q m ω   .   ρ b   .   c b

Então nossa equação vai ficar assim:

1 r   .   d d r   .   r   .   d θ d r - m ² . θ = 0

Agora considerando nosso m ² = ω . ρ b . c b / k m , vamos ficar com:

θ ≡ c 1   .   I 0 .   ( m   .   r ) + c 2   .   K 0 .   ( m   .   r )

E se temos como condição de contorno que r = 0 , vamos ficar com:

d T d r | r = 0   = d θ d r | r = 0   = c 1 . m . I 1 . ( 0 ) + c 2 . m . K 1 . ( 0 ) = 0

E se usar a condição onde r = r 1 , vamos ficar com:

T ( r 1 ) = T i

θ ( r 1 ) ≡ T - T a - q m ω   .   ρ b   .   c b ≡ θ i = c 1 . I 0 . ( m . r 1 )

Agora pra fechar, vamos lá:

θ = θ i   .   I 0   .   m . r I 0   .   m . r 1

Show! Agora é partir pra letra b!

Passo 2

Agora precisamos da temperatura na superfície externa do músculo, e vamos fazer isso igualando os fluxos térmicos!

q i " =   - k m   .   d T d r | r = r 1 =   - k m   .   d θ d r | r = r 1   =   - k m .   θ i   .   m .   I 1   .   ( m . r 1 ) I 0   .   ( m . r 1 )

Se colocamos a taxa de calor por unidade de comprimento, em relação a resistência total, vamos ter o seguinte:

q i " = q i ' 2 . π . r 1

q i " = 1 2 . π . r 1   .   T i - T ∞ R t o t '

Opa! Então temos duas equações para encontrar o q i " , vamos igualar as duas, beleza?

- k m .   θ i   .   m .   I 1   .   ( m . r 1 ) I 0   .   ( m . r 1 ) = 1 2 . π . r 1   .   T i - T ∞ R t o t '

Mas precisamos achar a resistência total, né?

Então vamos prosseguir!

R t o t ' = l n   ( r 2 / r 1 ) 2 . π . k s f + 1 2 . π . r 2   .   1 1 / h + 1 1 / h r - 1

R t o t ' = l n   ( r 2 / r 1 ) 2 . π . k s f + 1 2 . π . r 2   . 1 h + h r

R t o t ' = l n   ( 0,053 / 0,05 ) 2   .   π   .   0,3 + 1 2   .   π   .   0,053   . 1 2   +   5,9

R t o t ' = 0,41   m . K / W

Show!

Passo 3

Mas ainda tá faltando coisa!!

Vamos achar quem falta:

Primeiro o m :

m = ω . ρ b . c b / k m

m = 0,0005.1000.3600 / 0,5

m = 60   m - 1

Agora sim! Vamos primeiro isolar a temperatura T i e depois substituir todo mundo que a gente tem, beleza?

T i = T ∞ . I 0   .   ( m . r 1 )   +   k m . 2 . π . r 1 . m . R t o t '   .   T a + q m ω . ρ b . c b   .   I 1 . ( m . r 1 ) I 0 . ( m . r 1 )   +   k m . 2 . π . r 1 . m . R t o t ' .   I 1 . ( m . r 1 )

T i = 24 . I 0 ( 60.0,05 )   +   0,5.2 . π . 0,05.60.0,41   .   37 + 700 0,0005.1000.3600   .   I 1 ( 60.0,05 ) I 0 ( 60.0,05 )   +   0,5.2 . π . 0,05.60.0,41 .   I 1 ( 60.0,05 )

T i = 24 . I 0 ( 3 )   +   0,5.2 . π . 0,05.60.0,41   .   37 + 0,389   .   I 1 ( 3 ) I 0 ( 3 )   +   0,5.2 . π . 0,05.60.0,41 .   I 1 ( 3 )

Pra achar os valores de I 0 ( 3 ) e de I 1 ( 3 ) , vamos consultar a tabela B.5, tranquilo?

Lá a gente encontra que:

I 0 ( 3 ) = 4,88 I 1 ( 3 ) = 3,95

Vamos colocar isso na nossa equação, beleza?

T i = 24.4,88   +   0,5.2 . π . 0,05.60.0,41   .   37 + 0,389 . 3,95 4,88   +   0,5.2 . π . 0,05.60.0,41 .   3,95

T i = 34,2 ° C

Show! Fechamos a letra b!

Passo 4

Vamos resolver a letra c pra acabar, ok?

Então precisamos encontrar a temperatura máxima do antebraço, e isso vai ser quando r = 0 e o nosso I 0 ( 0 ) = 1 :

T = T a + q m ω . ρ b . c b + T i - T a - q m ω . ρ b . c b . 1 I 0 ( m . r 1 )

T = 37 + 700 0,0005.1000.3600 + 34,2 - 37 - 700 0,0005.1000.3600 . 1 I 0 ( 3 )

T = 37 + 0,389 + 34,2 - 37 - 0,389 . 1 4,88

T = 36,7 ° C

Prontinho! Conseguimos!

Resposta

  1. θ = θ i   .   I 0   .   m . r I 0   .   m . r 1
  2. T i = 34,2 ° C
  3. T = 36,7 ° C
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