Enunciado

Gotas de água são produzidas por um mecanismo que se acredita seguir o modelo d p = D W e - 3 5   . Nesta equação, d p é o tamanho da gota, D é proporcional a um comprimento em escala, e W e é o número de Weber. Na construção do modelo ampliado, se o comprimento característico em escala for aumentado por 20 e a velocidade for diminuída por um fator de 5, como difeririam as gotas em pequena e em larga escala para o mesmo material da gota, por exemplo, a água?

Passo 1

Neste problema é pedido a relação entre o tamanho da gota segundo um modelo e um protótipo.

Para resolver o problema será utilizado o número de Weber, definido como:

W e = ρ V 2 D σ

Sendo σ a tensão superficial da gota.

Como parâmetros conhecidos têm:

- escala geométrica: D m D p = 20 1 ;

- escala de velocidade:   V m V p = 1 5 ;

- fluido: água no modelo e protótipo.

Passo 2

A partir da semelhança dinâmica do modelo de tamanho de gota:

d p d m = D p ρ p V p 2 D p σ p - 3 5 D m ρ m V m 2 D m σ m - 3 5

O fluido avaliado no modelo e no protótipo é o mesmo, logo:

ρ p = ρ m

σ p = σ m

Então:

d p d m = D p V p 2 D p - 3 5 D m V m 2 D m - 3 5

Agrupando os parâmetros semelhantes:

d p d m = D p D m 2 5 V p V m - 6 5

Substituindo os parâmetros numéricos conhecidos:

d p d m = 1 20 2 5 5 1 - 6 5

Logo, a relação entre tamanhos de gotículas é dada por:

d p d m = 0,044

Note que a gotícula em pequena escala (protótipo) é 4,4% o tamanho da gotícula em grande escala.

Resposta

d p d m = 0,044

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