Enunciado

Um precipítador eletrostátíco (ESP) é um dispositivo usado em diversas aplicações para limpar o ar carregado de partículas. Em primeiro lugar, o ar empoeirado passa através do estágio de carga do ESP, onde as partículas de poeira recebem uma carga positiva q p (coulombs) dos fios do ionizador carregado(Figura ). Em seguida, o ar empoeirado entra no estágio de coletor do dispositivo, onde escoa entre duas placas com cargas opostas. A força do campo elétrico aplicado entre as placas é E f (a diferença de voltagem por unidade de distância). A Figura P7-100 mostra uma partícula de poeira carregada com diâmetro Dp. Ela é atraída para a placa com carga negativa e se move na direção daquela placa a uma velocidade chamada de velocidade de deriva w. Se as placas forem suficientemente longas, a partícula de poeira se choca com a placa com carga negativa e adere a ela. O ar limpo sai do dispositivo. Acontece que para partículas muito pequenas a velocidade de deriva só depende de q p , E f , D p , e da viscosidade do ar, μ .

  1. Gere uma relação adimensional entre a velocidade de deriva através do estágio coletor do ESP e os parâmetros dados. Mostre todo o seu trabalho,
  2. Se o a força do campo elétrico dobrar, com todas as outras condições iguais, por qual fator a velocidade de deriva variará?
  3. Para determinado ESP, se o diâmetro da partícula dobrar, com todas as outras condições iguais, por qual fator a velocidade de deriva variará?

Passo 1

Vamos lá! Eu sei que o enunciado assusta, mas isso nada mais é do que uma questão que envolve análise dimensional e semelhança!!!

Vamos começar a nossa letra a então!!

  1. Gere uma relação adimensional entre a velocidade de deriva através do estágio coletor do ESP e os parâmetros dados.
  2. Como eu falei, assusta, mas todos os parâmetros estão no enunciado!!!

    Pra começar, vamos listar as variáveis relavantes:

    w = f ( q p , E f , μ , D p )

    Daqui a gente já consegue ver o número de parâmetros, que são w , q p , E f , μ , e   D p então:

    n = 5

    Agora a gente precisa listar as dimensões primárias de cada parâmetro!

    Vamos começar por w :

    w = { L 1 t - 1 }

    Agora a carga, q p :

    q p = { I 1 t 1 }

    A força do campo elétrico, E f ,   que nada mais é do que uma tensão:

    E f = { m 1 L 1 t - 3 I - 1 }

    A viscosidade do ar, μ :

    μ = { m 1 L - 1 t - 1 }

    E por fim o diâmetro da partícula, D p :

    D p = { L }

    Quando a gente listou as dimensões primárias de cada parâmetro a gente usou as dimensões m ,   L ,   t e I , então podemos considerar:

    j = 4

    Teorema de Pi de Buckingham:

    k = n - j

    O n a gente já tinha achado no Passo 1, lá vimos que n = 5 !

    Substituindo:

    k = 5 - 4 = 1

    Nesse caso o número de grupos π esperado é igual a 1 . Então vamos atrás dele!!

    Para isso, precisamos decidir quais vão ser os 4   parâmetros repetidos.

    Temos δ P ,   ρ ,   V ˙ e D , como w é o parâmetro dependente a nossa única opção é escolher   q p , E f , μ e D p como parâmetros repetidos.

    Agora sim, vamos encontrar o nosso grupo π !!

    Organizando os nossos parâmetros a gente fica com:

    π 1 = m 0 L 0 t 0 I 0 = { w × q p a × E f b × μ c × D p d }

    Eles tem que ter dimensão zero, como a gente ta vendo no lado esquerdo da igualdade! Agora vamos substituir esses parâmetros pelas suas respectivas dimensões primárias!

    π 1 = m 0 L 0 t 0 I 0 = { L 1 t - 1 × I 1 t 1 a × m 1 L 1 t - 3 I - 1 b × m 1 L - 1 t - 1 c × L 1 d }

    Agora vamos equacionar os expoentes de uma dimensão de cada vez, começando por corrente:

    Corrente:

    I 0 = { a - b }

    0 = a - b

    a = b

    Massa:

    m 0 = ( m 1 b m 1 c }  

    0 = b + c

    c = - b

    Podemos dizer também que:

    a = b = - c

    Tempo:

    t 0 = { t - 1 t 1 a t - 3 b t - 1 c }

    0 = - 1 + a - 3 b - c

    0 = - 1 - c + 3 c - c

    c = 1

    Logo:

    a = b = - 1

    Comprimento:

    L 0 = { L 1 L 1 b L - 1 c L 1 d }

    0 = 1 + b - c + d

    d = - 1 + 1 + 1 = 1

    Então ficamos com:

    a = - 1

    b = - 1

    c = 1

    d = 1

    Agora que a gente conhece os expoentes, vamos substituir:

    π 1 = m 0 L 0 t 0 I 0 = { w × q p - 1 × E f - 1 × μ 1 × D p 1 }

    Organizando:

    π 1 = w × μ × D p q p × E f

    Como só temos um grupo π ele não pode ser função de outros grupos π , logo dizemos que ele é igual a uma contante:

    π 1 = w × μ × D p q p × E f = c o n s t a n t e

    Com isso a relação que o enunciado pediu, fica:

    w = c o n s t a n t e × q p E f μ D p

    Passo 2

    Agora que a gente conhece a relação entre w com as outras variáveis do ciclone, podemos responder a letra b!

    Que é:

  3. Se o a força do campo elétrico dobrar, com todas as outras condições iguais, por qual fator a velocidade de deriva variará?

Então vamos pegar a relação que terminamos de ver:

w = c o n s t a n t e × q p E f μ D p

Como apenas w e E f variam a gente pode fazer a seguinte igualdade:

w 1 w 2 = E f 1 E f 2

Sabendo que a força do campo elétrico vai dobrar, escrevemos:

w 1 w 2 = E f 1 2 × E f 1

Agora arrumando:

w 2 = 2 w 1

É isso ai!! Quando o a força do campo elétrico dobra w também dobra!!

Passo 2

Agora para a letra c o raciocínio é bem parecido!

Para determinado ESP, se o diâmetro da partícula dobrar, com todas as outras condições iguais, por qual fator a velocidade de deriva variará?

w 1 w 2 = D p 2 D p 1

Como o diâmetro dobra, fazemos:

w 1 w 2 = 2 D p 1 D p 1

w 2 = w 1 2

Logo a a velocidade vai diminuir pela metade!

Resposta

(a) w = c o n s t a n t e × q p E f μ D p ;

(b) w vai aumentar em um fator de 2 ;

(c) w vai diminuir em um fator de 2 .

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