Enunciado

Uma grande massa é suportada por um pistão de diâmetro D = 100   m m e comprimento L = 100   m m . O pistão está assentado em um cilindro fechado no fundo. A folga a = 0,025   m m entre a parede do cilindro e o pistão é preenchida com óleo SAE 10 a 20°C. O pistão desliza lentamente devido ao peso da massa, e o óleo é forçado a sair à taxa de 6.10 - 6   m 3 / s . Qual é o valor da massa (em kg)?

Passo 1

Tá legal, podemos tratar esse exercício como sendo um escoamento laminar com gradiente de pressão entre placas estacionárias e paralelas, e dessa forma, utilizar a equação 8.6c vista nesse capítulo, então, temos:

Q l = a 3 Δ p 12 μ L

De forma que o perímetro l será:

l = π D

Em que D é o diâmetro do pistão, então, substituindo essa expressão na equação anterior e isolando a diferença de pressão, temos:

Q π D = a 3 Δ p 12 μ L → Δ p = 12 Q μ L π D a 3

Então, sabemos que a variação de pressão será a força aplicada ao pistão divido pela sua área de seção transversal, então, temos:

Δ p = F A = F π D 2 4 → Δ p = 4 F π D 2

Passo 2

Agora, para encontrar a diferença de pressão utilizando a equação vista no passo 1, precisamos pegar as propriedades do óleo à temperatura dada no enunciado no apêndice A, então, teremos:

μ = 0,1   N . s / m 2

Então, agora, substituindo os valores conhecidos na equação da diferença de pressão obtida no passo 1, temos:

Δ p = 12 Q μ L π D a 3 = 12 6.10 - 6 0,1 0,1 π 0,1 0,025.10 - 3 - 3 → Δ p = 146,68   k P a

Passo 3

Com o valor da diferença de pressão encontrada no passo 2, podemos retornar a segunda equação para a diferença de pressão encontrada no passo 1:

Δ p = 4 F π D 2

Sabemos que a força aplicada ao pistão, nesse caso, será o peso da massa M , então, teremos:

Δ p = 4 M g π D 2 → M = Δ p π D 2 4 g

Então, substituindo os valores conhecidos, temos:

M = 146,68.10 3 π 0,1 2 4 9,81 → M = 117,4.10 3   k g

Resposta

M = 117,4.10 3   k g

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