Enunciado

Uma haste longa de cobre de 2,0   c m de diâmetro está inicialmente a uma temperatura uniforme de 100 ℃ . Agora é exposta a uma corrente de ar a 20 ℃ com coeficiente de transferência de calor de 200   W / m 2 ⋅ K . Quanto tempo será necessário para a haste esfriar a uma temperatura média de 25 ℃ ?

Passo 1

Podemos obter as propriedades do cobre na tabela A-3 (propriedades dos metais sólidos).

O valor da condutividade térmica do cobre k = 401   W / m ⋅ K .

O valor da densidade do cobre ρ = 8933   k g / m 3 .

O valor do calor específico do cobre  c p = 385   J / k g ⋅ K .

O diâmetro da barra é D = 0,02   m .

O coeficiente de transferência é h = 200   W / m 2 ⋅ K .

A temperatura inicial é T i = 100 ℃ .

A temperatura ambiente é T ∞ = 20 ℃ .

A temperatura final é T t = 25 ℃ .

Passo 2

Fala galera!!

Para responder esse exercício, precisamos primeiro calcular o número de Biot para saber se podemos aplicar a analise para sistema aglomerado. Podemos calcular Biot da seguinte maneira:

B i = h L c k

Aqui,  h é o coeficiente de transferência de calor,  L c o comprimento característico e  k é a condutividade térmica da barra de cobre.

Vamos considerar a barra como um cilindro, e como sabemos o comprimento característico pata cilindro é:

L c = r 2 = D 4

Substituindo no número de Biot temos:

B i = h D 4 k

Substituindo os valores temos:

B i = 200   W / m 2 ⋅ K × 0,02   m 4 × 401   W / m ⋅ K

B i = 0,0025

Como o número Biot é menor que o valor  0,1 , a análise do sistema aglomerado é aplicável.

Passo 3

Já que Biot é menor que 0,1 , podemos calcular o tempo necessário para que a haste de cobre resfrie uma temperatura média de  25 ℃ da se seguinte formula:

T t - T ∞ T i - T ∞ = e - b t

Podemos fazer umas mudanças nela da seguinte forma:

ln ⁡ T t - T ∞ T i - T ∞ = ln ⁡ e - b t

ln ⁡ T t - T ∞ T i - T ∞ = - b t

t = - 1 b ln ⁡ T t - T ∞ T i - T ∞

onde

b = h A s ρ V c p

Substituindo b temos:

t = - ρ V c p h A s ln ⁡ T t - T ∞ T i - T ∞

t = - ρ c p L c h ln ⁡ T t - T ∞ T i - T ∞

t = - ρ c p D 4 h ln ⁡ T t - T ∞ T i - T ∞

Aqui,  T i é a temperatura uniforme inicial, T ∞ é a temperatura da corrente de ar, T ( t ) é a temperatura da barra de cobre no momento  t , L c é o comprimento característico,  ρ é a densidade da haste de cobre, h é o coeficiente de transferência de calor, c p é o calor específico do cobre e  t é o tempo necessário para a barra de cobre esfriar uma temperatura média de  25 ℃ .

Passo 4

Agora, é só substituímos os valores fornecidos na equação acima. Assim temos:

t = - 8933   k g / m 3 × 385   J / k g ⋅ K × 0,02   m 4 × 200   W / m 2 ⋅ K ln ⁡ 25 - 20 100 - 20

t = 238,4   s

t = 4   m i n

Portanto, o tempo necessário para que a haste de cobre resfrie uma temperatura média de  25 ℃ é 4   m i n .

Resposta

t = 238,4   s

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