Enunciado

Em uma indústria de alimentos, dois fluidos imiscíveis são bombeados através de um tubo de modo que o fluido 1 ( μ 1 = 0,5   N . s / m 2 ) forme um núcleo de r = 1 / 4 D 1 e o fluido 2 ( μ 2 = 5   N . s / m 2 ) forme um espaço anular externo. O tubo tem D = 5   m m de diâmetro e comprimento L = 5   m . Deduza e trace a distribuição de velocidade, se a diferença de pressão aplicada, Δ p , é 5 MPa.

Passo 1

Tá legal, a primeira coisa que vamos fazer aqui é utilizar a equação 8.11 vista nesse capítulo para o perfil de velocidade, então, temos:

u = r 2 4 μ ∂ p ∂ x + c 1 μ ln ⁡ ( r ) + c 2

Então, no nosso caso, nós temos que aplicar essa equação para o fluido 1 e para o fluido 2, então, teremos:

u 1 = r 2 4 μ 1 Δ p L + c 1 μ 1 ln ⁡ ( r ) + c 2

u 2 = r 2 4 μ 2 Δ p L + c 3 μ 2 ln ⁡ ( r ) + c 4

O nosso trabalho agora é encontrar as constantes das equações acima, e, como temos 4 constantes, precisamos de 4 condições de contorno. Nós sabemos que na extremidade (parede), em r = R = D / 2 , teremos velocidade do fluido 2 igual a zero. Então, podemos escrever:

r = R = D 2 → u 2 = 0

Substituindo essa condição na equação para o perfil de velocidade do fluido 2, chegamos em:

0 = D 2 2 4 μ 2 Δ p L + c 3 μ 2 ln ⁡ D 2 + c 4 → 0 = D 2 16 μ 2 Δ p L + c 3 μ 2 ln ⁡ D 2 + c 4

Essa será nossa equação 1. Sabemos também que na interface entre os fluidos, eles devem ter a mesma velocidade, dessa forma, temos u 1 = u 2 ocorrendo em r = R / 2 = D / 4 , então, substituindo esses valores nos dois perfis de velocidade, temos:

u 1 = D 4 2 4 μ 1 Δ p L + c 1 μ 1 ln ⁡ D 4 + c 2 = D 2 64 μ 1 Δ p L + c 1 μ 1 ln ⁡ D 4 + c 2

u 2 = D 4 2 4 μ 2 Δ p L + c 3 μ 2 ln ⁡ D 4 + c 4 = D 2 64 μ 2 Δ p L + c 3 μ 2 ln ⁡ D 4 + c 4

E, igualando as duas equações, temos:

D 2 64 μ 1 Δ p L + c 1 μ 1 ln ⁡ D 4 + c 2 = D 2 64 μ 2 Δ p L + c 3 μ 2 ln ⁡ D 4 + c 4

Essa será nossa equação 2.

Passo 2

Agora, nossa terceira condição de contorno será a de velocidade constante com relação ao raio no ponto central do tubo, ou seja em r = 0 . Isso se deve a simetria do eixo radial. Então podemos escrever:

r = 0 → d u 1 d r = 0

Então, derivando a expressão de u 1 em relação a r , temos:

d u 1 d r = r 2 μ 1 Δ p L + c 1 r μ 1

Então, substituindo as condições de contorno para o nosso caso, temos:

0 = 0 2 μ 1 Δ p L + c 1 r μ 1 → c 1 r μ 1 = 0

Nesse caso, para que o termo restante não tenda a infinito quando r = 0 , devemos ter c 1 = 0 . Já achamos a nossa primeira constante. Agora, a nossa última condição de contorno será a de que na interface devemos ter a mesma tensão de cisalhamento entre os fluidos, então, temos:

r = R 2 = D 4 → μ 1 . d u 1 d r = μ 2 . d u 2 d r

Já encontramos a expressão para a derivada da velocidade u 1 em função de r , a expressão para u 2 terá o mesmo formato, só que com constantes diferentes. Então, igualando essas duas expressões, temos:

μ 1 r 2 μ 1 Δ p L + c 1 r μ 1 = μ 2 r 2 μ 2 Δ p L + c 3 r μ 2

Substituindo o ponto r = D / 4 e o valor da constante c 1 já encontrada, temos:

D 8 Δ p L = D 8 Δ p L + 4 c 3 D → 4 c 3 D = 0 → c 3 = 0

Agora, substituindo o valor da constante c 3 na nossa equação 1, chegamos em:

0 = D 2 16 μ 2 Δ p L + c 3 μ 2 ln ⁡ D 2 + c 4 → 0 = D 2 16 μ 2 Δ p L + 0 + c 4

c 4 = - D 2 Δ p 16 μ 2 L

E, agora, por fim, substituindo as constantes conhecidas na equação 2, temos:

D 2 64 μ 1 Δ p L + c 1 μ 1 ln ⁡ D 4 + c 2 = D 2 64 μ 2 Δ p L + c 3 μ 2 ln ⁡ D 4 + c 4

D 2 64 μ 1 Δ p L + 0 + c 2 = D 2 64 μ 2 Δ p L + 0 - D 2 Δ p 16 μ 2 L

c 2 = - 3 D 2 Δ p 64 μ 2 L - D 2 64 μ 1 Δ p L → c 2 = - D 2 Δ p 64 L 3 μ 2 + 1 μ 1 → c 2 = - D 2 Δ p 64 L 3 μ 1 + μ 2 μ 1 μ 2

Passo 3

Então, com todas as constantes determinadas, os perfis de velocidade serão:

u 1 = r 2 4 μ 1 Δ p L + c 1 μ 1 ln ⁡ ( r ) + c 2 → u 1 = r 2 4 μ 1 Δ p L - D 2 Δ p 64 L 3 μ 1 + μ 2 μ 1 μ 2

u 2 = r 2 4 μ 2 Δ p L + c 3 μ 2 ln ⁡ ( r ) + c 4 → u 2 = r 2 4 μ 2 Δ p L - D 2 Δ p 16 μ 2 L → u 2 = Δ p 4 μ 2 L r 2 - D 2 2

Então, agora podemos traçar o perfil de velocidade, então, colocando essas equações em um gráfico, temos:

Resposta

u 1 = r 2 4 μ 1 Δ p L - D 2 Δ p 64 L 3 μ 1 + μ 2 μ 1 μ 2

u 2 = Δ p 4 μ 2 L r 2 - D 2 2

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