Enunciado

Usando a Eq. 2.16, deduza os perfis de velocidade, vazão e velocidade média de um fluido não newtoniano em um tubo circular. Para uma vazão Q = 1   μ L / m i n e R = 1   m m , com k tendo valor unitário em unidades padrões S I , compare os gradientes de pressão requeridos para n = 0,5 ; 1,0 e 1,5 . Que fluido demanda a menor bomba para o mesmo comprimento de tubo?

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é ir no capítulo 2 para pegar a equação 2.16, que será:

τ y x = k d u d y n

No nosso caso, o eixo y é representado pela direção r , então essa equação se torna:

τ r x = k d u d r n

E, conforme vimos na equação 8.15, podemos escrever a tensão de cisalhamento ao longo de um tubo como:

τ r x = r 2 . ∂ p ∂ x

Então, igualando as duas expressões para a tensão de cisalhamento, chegamos em:

k d u d r n = r 2 . ∂ p ∂ x

Isolando d u / d r , temos:

d u d r n = r 2 k . ∂ p ∂ x → d u d r = r 2 k . ∂ p ∂ x 1 n

Integrando essa expressão em r , obtemos:

u = 1 2 k . ∂ p ∂ x 1 n . 1 1 + 1 n r 1 + 1 n + C 1

Então, da condição de não deslizamento na extremidade, temos:

r = R → u = 0

Então, substituindo esses valores na equação acima, conseguimos encontrar o valor de C 1 :

0 = 1 2 k . ∂ p ∂ x 1 n . 1 1 + 1 n R 1 + 1 n + C 1 → C 1 = - 1 2 k . ∂ p ∂ x 1 n . 1 1 + 1 n R 1 + 1 n

Então, a equação para o perfil de velocidade será:

u = 1 2 k . ∂ p ∂ x 1 n . 1 1 + 1 n r 1 + 1 n - 1 2 k . ∂ p ∂ x 1 n . 1 1 + 1 n R 1 + 1 n

u = n n + 1 1 2 k . ∂ p ∂ x 1 n r n + 1 n - R n + 1 n

Passo 2

Então, agora, para obter a vazão volumétrica, podemos usar a sua definição, onde temos:

Q = ∫ 0 R u r 2 π r d r

Então, substituindo o valor da expressão para a velocidade obtida no passo 1, temos:

Q = ∫ 0 R n n + 1 1 2 k . ∂ p ∂ x 1 n r n + 1 n - R n + 1 n 2 π r d r

Q = 2 π n n + 1 1 2 k . ∂ p ∂ x 1 n ∫ 0 R r 2 n + 1 n - r R n + 1 n d r

Resolvendo a integral, chegamos em:

Q = 2 π n n + 1 1 2 k . ∂ p ∂ x 1 n n 3 n + 1 r 3 n + 1 n - r 2 2 R n + 1 n 0 R

E, substituindo os limites de integração, temos:

Q = 2 π n n + 1 1 2 k . ∂ p ∂ x 1 n n 3 n + 1 R 3 n + 1 n - R 2 2 R n + 1 n

Q = - 2 n π n + 1 1 2 k . ∂ p ∂ x 1 n R 3 n + 1 n - n 3 n + 1 + 1 2

E, então, a velocidade média será dada por:

V - = Q A = - 2 n π n + 1 1 2 k . ∂ p ∂ x 1 n R 3 n + 1 n - n 3 n + 1 + 1 2 π R 2

Passo 3

Agora, como vimos no passo 2, através da equação da vazão, podemos isolar o gradiente de pressão, então, teremos:

Q = - 2 n π n + 1 1 2 k . ∂ p ∂ x 1 n R 3 n + 1 n - n 3 n + 1 + 1 2 → ∂ p ∂ x = - 2 k Q n + 1 2 n π - n 3 n + 1 + 1 2 R 3 n + 1 n n

Então, antes de substituir os valores conhecidos, vamos converter a vazão para a unidade do sistema internacional, então, temos:

Q = 1 μ L m i n 1   m i n 60   s 1.10 - 9   m 3 1 μ L → Q = 1,667.10 - 11   m 3 / s

Então, substituindo os valores conhecidos, na equação para o gradiente de pressão, e considerando primeiro n = 0,5 , temos:

∂ p ∂ x = - 2 1 1,667.10 - 11 0,5 + 1 2 0,5 π - 0,5 3 0,5 + 1 + 1 2 0,001 3 0,5 + 1 0,5 0,5 → ∂ p ∂ x = - 325,77   P a / m

Agora, repetindo o cálculo para n = 1 , temos:

∂ p ∂ x = - 2 1 1,667.10 - 11 1 + 1 2 1 π - 1 3 1 + 1 + 1 2 0,001 3 1 + 1 1 1 → ∂ p ∂ x = - 42,45   P a / m

E, por fim, para n = 1,5 , temos:

∂ p ∂ x = - 2 1 1,667.10 - 11 1 , 5 + 1 2 1 , 5 π - 1,5 3 1 , 5 + 1 + 1 2 0,001 3 1 , 5 + 1 1 , 5 1 , 5 → ∂ p ∂ x = - 5,43   P a / m

Dessa forma, podemos ver que o fluido com n = 1,5 demanda a menor pressão na bomba considerando o mesmo comprimento de tubo.

Resposta

∂ p ∂ x = - 325,77   P a / m

∂ p ∂ x = - 42,45   P a / m

∂ p ∂ x = - 5,43   P a / m

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