Enunciado

Considere escoamento de sangue em uma artéria. O sangue é um fluido não newtoniano; a tensão de cisalhamento versus a taxa de cisalhamento é descrita pela relação de Casson:

τ = τ c + μ . d u d r ,   p a r a   τ ≥ τ c τ = 0 ,   p a r a   τ < τ c

Em que τ c é a tensão de cisalhamento crítica e μ é uma constante que tem a mesma unidade da viscosidade dinâmica. A relação de Casson mostra uma relação linear entre τ e d u / d r , com coeficiente linear τ c e coeficiente angular (inclinação) μ . A relação de Casson se aproxima do comportamento newtoniano para altos valores da taxa de deformação. Deduza o perfil de velocidades para escoamento do sangue em regime permanente e completamente desenvolvido em uma artéria de raio R . Deduza uma expressão para a vazão do sangue. Calcule a vazão devido a um gradiente de pressão d p / d x = - 100   P a / m em uma artéria de raio R = 1   m m , usando os seguintes dados para o sangue: μ = 3,5   c P e τ c = 0,05   d i n a / c m 2 .

Passo 1

Tá legal! Conforme vimos no exercício 54 dessa seção e também na equação 8.15 apresentada no livro, podemos escrever a tensão de cisalhamento ao longo de um tubo como:

τ r x = r 2 . ∂ p ∂ x

Através dessa equação, podemos ver que a tensão é igual a zero exatamente na linha de centro, de modo que, deve haver um valor de r para o qual nós temos τ < τ c . Essa faixa de valores terá um raio menor do que o raio chamado de raio crítico e dado por R c . Dessa forma, podemos dividir o escoamento em duas regiões. Uma em que temos r > R c e a tensão de cisalhamento é dada por:

τ = τ c + μ . d u d r

E, outra, onde temos r < R c , de modo que temos:

τ = 0 < τ c

Então, primeiramente, vamos determinar o perfil de velocidade para a região em que r > R c , então, vamos substituir a tensão de cisalhamento na equação fornecida no enunciado, de modo que teremos:

τ = τ c + μ . d u d r → r 2 . ∂ p ∂ x = τ c + μ . d u d r

Então, como para o raio crítico, temos uma mudança no comportamento dessa função, então isso quer dizer que nesse ponto d u / d r = 0 , então, a equação acima se torna:

r 2 . ∂ p ∂ x = τ c + μ . d u d r → R c 2 . ∂ p ∂ x = τ c

Elevando ambos os lados ao quadrado, e isolando o raio crítico, chegamos em:

R c 2 . ∂ p ∂ x = τ c → R c = 2 τ c ∂ p ∂ x

Passo 2

Agora nós vamos substituir a relação encontrada para τ c na seguinte equação obtida no passo 1:

r 2 . ∂ p ∂ x = τ c + μ . d u d r → r 2 . ∂ p ∂ x = R c 2 . ∂ p ∂ x + μ . d u d r

Então, rearranjando os termos, temos:

r 2 . ∂ p ∂ x - R c 2 . ∂ p ∂ x = μ . d u d r

Agora, elevando ambos os lados ao quadrado, temos:

r 2 . ∂ p ∂ x - r R c . ∂ p ∂ x + R c 2 . ∂ p ∂ x = μ . d u d r → μ . d u d r = 1 2 . ∂ p ∂ x r - 2 r R c + R c

Agora nós vamos integrar essa expressão com relação a r , e chegaremos em:

u = 1 2 μ . ∂ p ∂ x r 2 2 - 4 3 R c r 3 2 + R c r + C 1

Agora, para obter o valor da constante C 1 , nós vamos usar a condição de não deslizamento nas bordas, ou seja:

r = R → u = 0

Então, substituindo esses valores na expressão anterior, temos:

0 = 1 2 μ . ∂ p ∂ x R 2 2 - 4 3 R c R 3 / 2 + R c R + C 1 → C 1 = - 1 2 μ . ∂ p ∂ x R 2 2 - 4 3 R c R 3 / 2 + R c R

Então, o perfil de velocidade será:

u = 1 2 μ . ∂ p ∂ x r 2 2 - 4 3 R c r 3 2 + R c r - 1 2 μ . ∂ p ∂ x R 2 2 - 4 3 R c R 3 / 2 + R c R

u = 1 4 μ . ∂ p ∂ x r 2 - R 2 - 8 3 R c r 3 2 - R c 3 2 + 2 R c r - R

Essa é a equação do perfil de velocidade para R c ≤ r ≤ R .

Passo 3

Agora, para a região onde nós temos r < R c , como não temos tensão de cisalhamento, não há impedimento na direção do escoamento. Dessa forma, a velocidade nesse ponto é constante para r , e consequentemente, deve ser igual a velocidade obtida no ponto de transição para R c , então, para obter essa velocidade, nós precisamos fazer r = R c na equação obtida no passo 2, então, temos:

u = 1 4 μ . ∂ p ∂ x r 2 - R 2 - 8 3 R c r 3 2 - R c 3 2 + 2 R c r - R

u = 1 4 μ . ∂ p ∂ x R c 2 - R 2 - 8 3 R c R c 3 2 - R c 3 2 + 2 R c R c - R

u = 1 4 μ . ∂ p ∂ x R c 2 - R 2 + 2 R c R c - R

Então, agora, para obter a vazão volumétrica, podemos usar a sua definição, onde temos:

Q = ∫ 0 R u r 2 π r d r

Só que, nesse caso, como temos dois perfis de velocidade ao longo do raio, precisamos separar essa integral em duas, dessa forma, teremos:

Q = ∫ 0 R c u r 2 π r d r + ∫ R c R u r 2 π r d r

Agora nós vamos resolver uma integral de cada vez, então, para o intervalo 0 ≤ r ≤ R c , temos:

∫ 0 R c u r 2 π r d r = ∫ 0 R c 1 4 μ . ∂ p ∂ x R c 2 - R 2 + 2 R c R c - R 2 π r d r

π 2 μ . ∂ p ∂ x ∫ 0 R c R c 2 - R 2 + 2 R c R c - R r d r

Resolvendo a integral, chegamos em:

π 2 μ . ∂ p ∂ x R c 2 - R 2 + 2 R c R c - R r 2 2 0 R c

Substituindo os limites de integração, temos:

π 2 μ . ∂ p ∂ x R c 2 - R 2 + 2 R c R c - R R 2 2 → π R 2 4 μ . ∂ p ∂ x R c 2 - R 2 + 2 R c R c - R

Passo 4

Agora nós vamos resolver a integral para o intervalo R c ≤ r ≤ R , então, temos:

∫ R c R u r 2 π r d r = ∫ R c R 1 4 μ . ∂ p ∂ x r 2 - R 2 - 8 3 R c r 3 2 - R c 3 2 + 2 R c r - R 2 π r d r

π 2 μ . ∂ p ∂ x ∫ R c R r 3 - r R 2 - 8 3 R c r 5 2 - r R c 3 2 + 2 R c r 2 - R r d r

Resolvendo a integral, chegamos em:

π 2 μ . ∂ p ∂ x r 4 4 - r 2 R 2 2 - 8 3 R c 2 7 r 7 2 - r 2 R c 3 2 2 + 2 R c r 3 3 - R r 2 2 R c R

Agora nós vamos substituir os limites de integração:

π 2 μ . ∂ p ∂ x R 4 4 - R 2 R 2 2 - 8 3 R c 2 7 R 7 2 - R 2 R c 3 2 2 + 2 R c R 3 3 - R R 2 2 - R c   4 4 - R c 2 R 2 2 - 8 3 R c 2 7 R c 7 2 - R c 2 R c 3 2 2 + 2 R c R c 3 3 - R R c 2 2

Agrupando os termos em comum e simplificando a expressão, chegamos em:

π 2 μ . ∂ p ∂ x R 4 4 - R 4 2 - 8 3 R c 2 7 R 7 2 - R 2 R c 3 2 2 + 2 R c R 3 3 - R 3 2 - R c   4 4 - R c 2 R 2 2 - 8 3 R c 2 7 R c 7 2 - R c 7 2 2 + 2 R c R c 3 3 - R R c 2 2

π 2 μ . ∂ p ∂ x - R 4 4 - 8 3 R c 2 7 R 7 2 - R 2 R c 3 2 2 + 2 R c - R 3 6 - R c 4 4 - R c 2 R 2 2 - 8 3 R c - 3 R c 7 2 14 + 2 R c R c 3 3 - R R c 2 2

π 2 μ . ∂ p ∂ x - R 4 4 - 8 3 R c 2 7 R 7 2 - R 2 R c 3 2 2 + 2 R c - R 3 6 - R c 4 4 - R c 2 R 2 2 - 8 3 R c - 3 R c 7 2 14 + 2 R c R c 3 3 - R R c 2 2

Sim, as expressões ficam gigantes mesmo. E nesse caso não compensa simplifica-las, Então, a equação da vazão será:

Q = π 2 μ . ∂ p ∂ x - R 4 4 - 8 3 R c 2 7 R 7 2 - R 2 R c 3 2 2 + 2 R c - R 3 6 - R c 4 4 - R c 2 R 2 2 - 8 3 R c - 3 R c 7 2 14 + 2 R c R c 3 3 - R R c 2 2 + π R 2 4 μ . ∂ p ∂ x R c 2 - R 2 + 2 R c R c - R

Passo 5

Então, agora, já conhecemos todos os valores da equação da vazão, menos o raio crítico, mas ele pode ser encontrado através da equação que vimos no passo 1, então, temos:

R c = 2 τ c ∂ p ∂ x

Substituindo os valores fornecidos no enunciado, temos:

R c = 2 ( 0,05.10 - 1 ) 100 → 0,0001   m

Então, agora, substituindo todos os valores conhecidos e fornecidos no enunciado na equação do passo 4, obtemos o seguinte valor para a vazão:

Q = 3,4.10 - 9   m 3 / s

Resposta

u = 1 4 μ . ∂ p ∂ x r 2 - R 2 - 8 3 R c r 3 2 - R c 3 2 + 2 R c r - R

u = 1 4 μ . ∂ p ∂ x R c 2 - R 2 + 2 R c R c - R

Q = 3,4.10 - 9   m 3 / s

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