Enunciado

A intensidade do som I é definida como a potência acústica por unidade de área que emana de uma fonte de som. Sabemos que I é função do nível de pressão do som P (dimensões de pressão) e das propriedades do fluido (densidade) e da velocidade do som c.

  1. Use o método das variáveis repetidas nas dimensões primárias com base na massa para gerar uma relação adimensional para I como função dos outros parâmetros. Mostre todo o seu trabalho. O que acontece se você escolher três variáveis repetidas? Discuta.
  2. Repita a parte (a), mas use o sistema de dimensões primárias com base na força. Discuta.

Passo 1

Bora começar a nossa letra a então!!

  1. Use o método das variáveis repetidas nas dimensões primárias com base na massa para gerar uma relação adimensional para I como função dos outros parâmetros. Mostre todo o seu trabalho. O que acontece se você escolher três variáveis repetidas? Discuta.

Pra começar, vamos listar as variáveis relavantes:

I = f ( P , c , ρ )

Daqui a gente já consegue ver o número de parâmetros, então:

n = 4

Agora a gente precisa listar as dimensões primárias de cada parâmetro!

I = m 1 t - 3 ;       P = { m 1 L - 1 t - 2 }; c = L 1 t - 1 ; ρ = { m L - 3 }

Quando a gente listou as dimensões primárias de cada parâmetro a gente usou as dimensões m ,   L e t , então podemos considerar:

j = 3

Teorema de Pi de Buckingham:

k = 4 - 3 = 1

Nesse caso o número de grupos π esperado é igual a 1 . Então vamos atrás dele!!

Para isso, precisamos decidir quais vão ser os 3   parâmetros repetidos.

P ,   ρ ,   c

O problema é que eles formam um grupo adimensional entre si, mas por enquanto vamos fingir que a gente não sabe, pra ver onde isso vai dar!

Agora sim, vamos encontrar o nosso grupo π 1 !!

Organizando os nossos parâmetros a gente fica com:

π 1 = 1 = { I × P a × ρ b c c }

π 1 = m 0 L 0 t 0 = { m 1 t - 3 × m 1 L - 1 t - 2 a × m 1 L - 3 b L 1 t - 1 c }

Agora vamos equacionar os expoentes de uma dimensão de cada vez, começando pela massa:

Massa:

m 0 = { m 1 m 1 a m 1 b }  

0 = 1 + a + b

Tempo:

t 0 = { t - 3 t - 2 a t - 1 c }

0 = - 3 - 2 a - c

Comprimento:

L 0 = { L - 1 a L - 3 b L 1 c }

0 = - a - 3 b + c

Então temos:

0 = 1 + a + b

0 = - 3 - 2 a - c

0 = - a - 3 b + c

Aqui a gente chega em um problema!!! Por que a gente não consegue resolver esse sisteminha! Isso acontece porque lá atrás nós escolhemos 3 variáveis independentes formam sozinhas um grupo adimensional!

Passo 2

Para resolver isso temos que reduzir j que antes era j = 3 agora será j = 2 , com isso passamos a:

k = 4 - 2 = 2

Agora vamos escolher duas variáveis para serem as variáveis repetentes e vamos procurar dois grupos π dessa vez!!

Eu vou escolher para as variáveis repetidas o ρ e o c !

Nosso novo π 1 será:

π 1 = 1 = { I × ρ a × c b }

π 1 = m 0 L 0 t 0 = { m 1 t - 3 × m 1 L - 3 a L 1 t - 1 b }

Agora vamos equacionar os expoentes de uma dimensão de cada vez, começando pela massa:

Massa:

m 0 = { m 1 m 1 a }  

0 = 1 + a

a = - 1

Tempo:

t 0 = { t - 3 t - 1 b }

0 = - 3 - b

b = - 3

Comprimento:

L 0 = { L - 3 a L 1 b }

0 = - 3 a + b

b = - 3

Então temos:

π 1 = 1 = { I × ρ - 1 × c - 3 }

Ficamos com:

π 1 = I ρ c 3

Agora vamos para o π 2   agora com P .

π 2 = 1 = { P × ρ a 2 × c b 2 }

π 2 = m 0 L 0 t 0 = { m 1 L - 1 t - 2 × m 1 L - 3 a 2 L 1 t - 1 b 2 }

Agora vamos equacionar os expoentes de uma dimensão de cada vez, começando pela massa:

Massa:

m 0 = { m 1 m 1 a 2 }  

0 = 1 + a 2

a 2 = - 1

Tempo:

t 0 = { t - 2 t - 1 b 2 }

0 = - 2 - b 2

b 2 = - 2

Comprimento:

L 0 = { L - 1 a 2 L 1 b 2 }

0 = - a 2 + b 2

b 2 = - 2

Então temos:

π 2 = 1 = { P × ρ - 1 × c - 2 }

Ficamos com:

π 2 = P ρ c 2

Agora vamos escrever a relação entre π 1 e π 2 :

I ρ c 3 = f P ρ c 2

Agora vamos fazer a mesma coisa só que com o sistema de dimensões primárias com base na força!!

Passo 3

Agora bora para a letra b!!

  1. Repita a parte (a), mas use o sistema de dimensões primárias com base na força. Discuta.

Só resumindo o que a gente já sabe!

A lista de variáveis relevantes:

I = f ( P , c , ρ )

Agora a gente precisa listar as dimensões primárias de cada parâmetro!

I = F 1 L - 1 t - 1 ;       P = { F 1 L - 2 }; c = L 1 t - 1 ; ρ = { F 1 t 2 L - 4 }

A gente já viu que j = 2 , então vamos de novo fazer dois grupos π !

As nossas variáveis repetidas vão ser as mesmas:

ρ   e   c

Começando pelo π 1 :

π 1 = 1 = { I × ρ a × c b }

π 1 = F 0 L 0 t 0 = { F 1 L - 1 t - 1 × F 1 t 2 L - 4 a L 1 t - 1 b }

Agora vamos equacionar os expoentes de uma dimensão de cada vez, começando pela força:

Força:

F 0 = { F 1 F 1 a }  

0 = 1 + a

a = - 1

Tempo:

t 0 = { t - 1 t 2 a t - 1 b }

0 = - 1 + 2 a - b

0 = - 1 - 2 - b

b = - 3

Comprimento:

L 0 = { L - 1 L - 4 a L 1 b }

0 = - 1 - 4 a + b

0 = - 1 + 4 - 3 = 0

Então temos:

π 1 = 1 = { I × ρ - 1 × c - 3 }

Ficamos com:

π 1 = I ρ c 3

Agora π 2 :

π 1 = 1 = { P × ρ a 2 × c b 2 }

π 1 = F 0 L 0 t 0 = { F 1 L - 2 × F 1 t 2 L - 4 a 2 L 1 t - 1 b 2 }

Agora vamos equacionar os expoentes de uma dimensão de cada vez, começando pela força:

Força:

F 0 = { F 1 F 1 a 2 }  

0 = 1 + a 2

a 2 = - 1

Tempo:

t 0 = { t 2 a 2 t - 1 b 2 }

0 = 2 a - b 2

0 = - 2 - b 2

b 2 = - 2

Comprimento:

L 0 = { L - 2 L - 4 a L 1 b }

0 = - 2 - 4 a 2 + b 2

0 = - 2 + 4 - 2 = 0

Então temos:

π 2 = 1 = { P × ρ - 1 × c - 2 }

Ficamos com:

π 2 = P ρ c 2

Agora vamos escrever a relação entre π 1 e π 2 :

I ρ c 3 = f P ρ c 2

Agora, se a gente reparar chegamos no mesmo resultado, tanto com as dimensões primárias com base na massa quanto na força!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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