Enunciado

Um jato d’água horizontal a velocidade constante V de um bocal fixo é imposto normalmente a uma placa plana vertical que é mantida em um trilho quase sem atrito. À medida que o jato d’água atinge a placa, ele começa a se mover devido à força da água. Qual é a velocidade mais alta que pode ser atingida pela placa? Explique.

Passo 1

O primeiro passo para resolver essa questão é escolher qual é o volume de controle. Essa escolha é o primeiro passo para saber sobre a aceleração a p da placa. Descobrir uma fórmula para a P é fundamental para a gente descobrir qual é a maior velocidade da placa.

Nós vamos supor que o volume de controle é a região do espaço que engloba a parte do jato colidindo com a placa. A figura abaixo mostra o volume de controle.

V j a t o é a velocidade do jato de água que atravessa o volume de controle em relação ao chão e V p é a velocidade da placa. F → é a força que a placa exerce sobre o jato.

O volume de controle se movimenta junto com a placa. Por isso, a velocidade do volume de controle é igual à velocidade da placa V p .

Passo 2

Agora que escolhemos o volume de controle, podemos usar a segunda lei de Newton nesse volume de controle. Como a velocidade do jato é constante, o escoamento do volume de controle é considerado como sendo um escoamento em regime permanente.

Como estamos interessados apenas na sua aceleração horizontal (ao longo do eixo x ), usaremos apenas a equação de quantidade de movimento (segunda lei de Newton) relativa ao eixo x apenas. Além disso, o volume de controle possui apenas uma corrente de fluido entrando horizontalmente nele. Por causa de todos esses fatores, podemos usar a equação 6 - 27 .

∑ F x = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , x - β 1 ⋅ V 1 , x

onde ∑ F x é o somatório das forças horizontais (no eixo x ) sobre o volume de controle, m ˙ é a vazão mássica do jato d’água entrando no volume de controle. β 1 é o fator de correção para o escoamento que entra no volume de controle. β 2 é o fator de correção para o escoamento que sai do volume de controle. V 1 , x é a velocidade relativa do jato em relação ao volume de controle móvel no eixo x . V 2 , x é a velocidade relativa da água que colidiu com a placa no eixo x .

Esta é a equação de quantidade de movimento no eixo x (segunda lei de Newton) para um escoamento em regime permanente, com uma corrente entrando e outra saindo. No próximo passo descobriremos quanto vale cada termo dessa fórmula.

Passo 3

Pela figura acima, a força F → parece ser a única força sobre o volume de controle no eixo x . Mas você poderia se perguntar se a força da pressão P do jato e a força da pressão atmosférica P a t m também não contam.

Elas existem, mas a pressão de um jato na atmosfera é muito próxima da pressão atmosférica P = P a t m . Logo, a força da pressão do jato se cancela com a força da pressão atmosférica. Por causa disso, ∑ F x vale:

∑ F x = - F

O sinal de menos está presente na fórmula, porque a força está no sentido negativo de x .

Além disso, os fatores de correção β 1 e β 2 valem 1 para jatos!

β 1 = 1

β 2 = 1

V 1 , x é a componente horizontal da velocidade relativa do jato em relação ao volume de controle. Logo, V 1 , x é a velocidade do jato em relação ao chão V j a t o menos a velocidade do volume de controle em relação ao chão V p .

V 1 , x = V j a t o - V p

V 2 , x é a componente horizontal da velocidade relativa da água que sai do volume de controle. Como a água sai do volume de controle apenas com velocidades verticais, V 2 , x vale zero.

V 2 , x = 0

Por fim, a vazão mássica do jato d’água entrando no volume de controle m ˙ vale:

m ˙ = ρ ⋅ V 1 , x ⋅ A

onde ρ é a massa específica da água e A é a área da superfície de controle através da qual o jato passou.

Substituindo a equação de V 1 , x na fórmula de m ˙ encontramos:

m ˙ = ρ ⋅ V 1 , x ⋅ A       ⟹       m ˙ = ρ ⋅ V j a t o - V p ⋅ A

Passo 4

Substituindo todos esses dados na segunda lei, encontramos uma fórmula para a força F .

∑ F x = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , x - β 1 ⋅ V 1 , x     ⟹   - F = ρ ⋅ V j a t o - V p ⋅ A ⋅ 1 ⋅ 0 - 1 ⋅ V j a t o - V c

F =   ρ ⋅ V j a t o - V p 2 ⋅ A

Como a placa exerce uma força F sobre o jato, o jato exerce uma reação igual sobre a placa. Isso acontece por causa da terceira lei de Newton (ação e reação). Como os trilhos não têm atrito, a força total exercida sobre a placa é igual à essa força de reação do jato F . Aplicando a segunda lei de Newton sobre a placa, encontramos:

F = m p ⋅ a p       ⟹       a p = F m p       ⟹       a p = ρ ⋅ V j a t o - V p 2 ⋅ A m p

m c é a massa da placa.

Todos os termos dessa fórmula são constante, menos a velocidade da placa V p . V p aumenta a cada instante. Isso significa que a p vai se tornando cada vez menor com o tempo.

Logo, a aceleração da placa a p varia com o tempo até alcançar o valor zero, quando V p é igual a V j a t o :

a p = ρ ⋅ V j a t o - V p 2 ⋅ A m p       ⟹     a p = ρ ⋅ V j a t o - V j a t o 2 ⋅ A m p       ⟹       a p = 0

Isso quer dizer que, no momento em que V p se torna igual a V j a t o , V p para de variar. Nesse instante, V p para de aumentar. Por causa disso, a velocidade máxima da placa é igual à velocidade do V j a t o .

V p m á x = V j a t o

Resposta

V p m á x = V j a t o

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