Enunciado

Repita o Problema 6-24 para o caso de theta = 110 ° .

Passo 1

O exercício quer que a gente calcule a força F necessária para manter o cotovelo parado. Essa força possui duas componentes: a componente horizontal F_x do eixo x e a componente vertical do eixo y . A figura abaixo mostra a linha de corrente central do cotovelo e alguns dados fornecidos pelo enunciado.

A_1 é a área da seção transversal por onde a água entra no cotovelo e A_2 é a área da seção transversal por onde a água sai do cotovelo. P_1 é a pressão manométrica linha de corrente central da entrada do cotovelo e P_2 é a pressão manométrica linha de corrente central da saída do cotovelo. P_2 vale zero, porque é igual à pressão atmosférica.

P_2 = 0 P a

V_1 é a velocidade de entrada da água e V_2 é a velocidade de saída da água. z_2 - z_1 é a diferença de altitude entre a entrada e a saída do cotovelo. overset(˙)(m) é a vazão de água através do cotovelo. m é a soma da massa da água dentro do cotovelo com a massa do cotovelo. g é a aceleração da gravidade.

Para encontrar F , precisamos calcular P_1 primeiro. Para fazer isso de forma mais fácil, temos que entender uma informação que o enunciado esconde da gente. Além disso, temos que fazer algumas simplificações. No próximo passo faremos isso.

Passo 2

Quando o enunciado diz que o cotovelo é usado para direcionar o escoamento da água a uma taxa de 30 k g // s , ele quer dizer que a vazão de entrada de água é igual à vazão de saída! Isso é uma forma do enunciado dizer que o escoamento de água está em regime permanente. Essa era a informação escondida do enunciado. Agora vamos ver as simplificações!

Além disso, para diminuir as contas que a gente precisa fazer podemos fazer algumas simplificações. Podemos considerar que a água é incompressível ( rho constante através do escoamento), sem atrito e irrotacional (vorticidade vale zero em todo o escoamento). Fazendo todas essas simplificações, podemos usar a equação de Bernoulli na linha de corrente central do escoamento de para calcular P_1 .

(P_1)/(rho) + (V_1^2)/(2) + g z_1 = (P_2)/(rho) + (V_2^2)/(2) + g z_2

onde rho é a densidade da água.

Podemos calcular V_1 e V_2 através da fórmula de vazão.

overset(˙)(m) = rho * V_1 * A_1 ⟹ V_1 = (overset(˙)(m))/(rho * A_1)

overset(˙)(m) = rho * V_2 * A_2 ⟹ V_2 = (overset(˙)(m))/(rho * A_2)

Substituindo isso na fórmula e lembrando que P_2 é nulo, achamos:

P_1 = rho (V_2^2)/(2) - rho (V_1^2)/(2) + rho g (z_2 - z_1) ⟹ P_1 = (rho)/(2) ((overset(˙)(m))/(rho * A_2))^2 - (rho)/(2) ((overset(˙)(m))/(rho * A_1))^2 + rho g (z_2 - z_1)

Passo 3

Substituindo os dados na fórmula de P_1 , achamos o valor dessa pressão. No entanto, antes disso precisamos converter z_2 - z_1 de centímetro (c m) para metro (m) .

z_2 - z_1 = 40 c m ⟹ z_2 - z_1 = 0,40 m

Também precisamos considerar que a densidade da água rho vale 1000 k g // m^3 . Esse é o valor da densidade da água na pressão atmosférica e na temperatura ambiente!

Por último precisamos converter as unidades de A_1 e A_2 de c m^2 para m^2 .

A_1 = 150 c m^2 ⟹ A_1 = 0,015 m^2

A_2 = 25 c m^2 ⟹ A_2 = 0,0025 m^2

P_1 = (rho)/(2) ((overset(˙)(m))/(rho * A_2))^2 - (rho)/(2) ((overset(˙)(m))/(rho * A_1))^2 + rho g (z_2 - z_1)

P_1 = (1000)/(2) * ((30)/(1000 * 0,0025))^2 - (1000)/(2) * ((30)/(1000 * 0,015))^2 + 1000 * 9,81 * 0,40

P_1 = 73924 P a

Passo 4

Para calcular as forças F_x e F_y que são necessárias para manter o cotovelo sem se mover horizontalmente e verticalmente, vamos adaptar a equação 6 - 27 do livro (segunda lei de Newton) para o nosso caso.

(sum F)_x = overset(˙)(m) * (beta_2 * V_2 , x - beta_1 * V_1 , x)

onde (sum F)_x é o somatório das forças horizontais (no eixo x ) sobre o volume de controle, beta_1 é o fator de correção para o escoamento que entra no volume de controle. beta_2 é o fator de correção para o escoamento que sai do volume de controle. Esses dois fatores de conversão valem 1,03 segundo o enunciado.

beta_1 = beta_2 = 1,03

V_1 , x é a velocidade da água no eixo x entrando no cotovelo. V_2 , x é a velocidade da água no eixo x saindo do cotovelo. A velocidade V_2 tem duas componentes. Sua componente horizontal vale:

V_2 , x = V_2 * cos theta ⟹ V_2 , x = (overset(˙)(m))/(rho * A_2) * cos theta

Além disso, a velocidade V_1 é horizontal. Logo, sua componente horizontal é igual à V_1 (V_1 , x = V_1) .

Substituindo essas informações na fórmula de (sum F)_x , encontramos:

(sum F)_x = overset(˙)(m) * (beta_2 * V_2 , x - beta_1 * V_1 , x)

(sum F)_x = overset(˙)(m) * (beta_2 * (overset(˙)(m))/(rho * A_2) * cos theta - beta_2 * (overset(˙)(m))/(rho * A_1))

(sum F)_x = (overset(˙)(m)^2 * beta_2)/(rho) * ((cos theta)/(A_2) - (1)/(A_1))

Já as forças do eixo x são apenas a força que a pressão P_1 exerce sobre a entrada do cotovelo e a força F_x . Como as duas tem o mesmo sentido (da esqueda pra direita), a força resultante é igual à força da pressão P_1 mais F_x . É importante lembrar que a força da pressão P_2 não está incluída, porque a pressão manométrica vale zero.

(sum F)_x = P_1 * A_1 + F_x

Substituindo isso na equação anterior de (sum F)_x , encontramos:

(sum F)_x = (overset(˙)(m)^2 * beta_2)/(rho) * ((cos theta)/(A_2) - (1)/(A_1)) ⟹ P_1 * A_1 + F_x = (overset(˙)(m)^2 * beta_2)/(rho) * ((cos theta)/(A_2) - (1)/(A_1))

F_x = - P_1 * A_1 + (overset(˙)(m)^2 * beta_2)/(rho) * ((cos theta)/(A_2) - (1)/(A_1))

Passo 5

Para encontrar F_y temos que adaptar a equação de (sum F)_x .

(sum F)_y = overset(˙)(m) * (beta_2 * V_2 , y - beta_1 * V_1 , y)

onde (sum F)_y é o somatório das forças verticais (no eixo y ) sobre o volume de controle.

V_1 , y é a velocidade da água no eixo y entrando no cotovelo. V_2 , y é a velocidade da água no eixo x saindo do cotovelo. A velocidade V_2 tem duas componentes. Sua componente vertical vale:

V_2 , y = V_2 * sen theta ⟹ V_2 , y = (overset(˙)(m))/(rho * A_2) * sen theta

Além disso, a velocidade V_1 é horizontal. Logo, sua componente vertical vale zero (V_1 , y = 0) .

(sum F)_y = overset(˙)(m) * (beta_2 * V_2 , y - beta_1 * V_1 , y) ⟹ (sum F)_y = overset(˙)(m) * beta_2 * (overset(˙)(m))/(rho * A_2) * sen theta

(sum F)_y = (overset(˙)(m)^2 * beta_2 * sen theta)/(rho * A_2)

Já as forças do eixo y são a força F_y e a força peso W que a água e o cotovelo sofrem pela atração da terra. W é igual á massa do cotovelo e da água m multiplicada pela aceleração da gravidade g .

W = m * g

Como as duas são opostas ( F_y pra cima e a força W pra baixo), a força resultante é igual a F_y menos a força W .

(sum F)_y = F_y - m * g

Substituindo isso na equação anterior, encontramos:

(sum F)_y = (overset(˙)(m)^2 * beta_2 * sen theta)/(rho * A_2) ⟹ F_y - m * g = (overset(˙)(m)^2 * beta_2 * sen theta)/(rho * A_2)

F_y = m * g + (overset(˙)(m)^2 * beta_2 * sen theta)/(rho * A_2)

Passo 6

Substituindo os dados nas fórmulas de F_x e F_y somos capazes de encontrar os valores dessas duas componentes da força total F .

F_x = - P_1 * A_1 + (overset(˙)(m)^2 * beta_2)/(rho) * ((cos theta)/(A_2) - (1)/(A_1))

F_x = - 73924 * 0,015 + (30^2 * 1,03)/(1000) * ((cos 110 °)/(0,0025) - (1)/(0,015))

F_x = - 1298 N

F_y = m * g + (overset(˙)(m)^2 * beta_2 * sen theta)/(rho * A_2) ⟹ F_y = 50 * 9,81 + (30^2 * 1,03 * sen 110 °)/(1000 * 0,0025)

F_y = 839 N

Para calcular F total, fazemos a soma dos quadrados dos componentes e depois aplicamos a raiz quadrada.

F = sqrt(F_x^2 + F_y^2) ⟹ F = sqrt((- 1298)^2 + (839)^2) ⟹ F=1546N

Resposta

F = 1546 N

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