Enunciado

Um jato com velocidade V incide em uma pá que se move para a direita com a velocidade Vc, como mostra a Figura P11.18. A pá tem um ângulo de desvio θ. Deduza uma expressão para a potência fornecida à pá pelo jato. Para qual velocidade da pá a potência é máxima?

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nessa questão, temos um jato de água em uma velocidade V que atinge uma pá com um ângulo de desvio θ e faz ela se mover a uma velocidade V c .

Pra entender o que tá rolando nesse volume de controle, vamo dá uma olhada no esquema abaixo:

Como vocês podem ver, o jato atinge a pá a uma velocidade efetiva de V - V c a uma força F 1 . Além disso, esse jato sai da pá a uma velocidade F 2 de dependente do ângulo θ .

O enunciado nos pede então pra deduzir uma expressão para a potência fornecida à pá pelo jato.

Nos próximos passos vou te mostrar como fazer isso, então vem comigo!

Passo 2

Pra começar a resolver a questão, vamos deduzir uma expressão pra força resultade F R = F 1 - F 2 .

A força que entra na pá, F 1 , é dada simplesmente pelo mesmo equacionamento visto pro balanço integral de quantidade de movimento, que a gente viu lá no Capítulo 3:

F 1 = ρ A V - V c 2

Já a força que sai da pá, F 2 , pode ser calculada como a resultante da soma entre as forças horizontal e vertical agindo na saída, como você pode ver pela figura que eu te mostrei no passo anterior.

Se a gente olhar pra figura lá em cima, podemos usar uma relação trigonométrica simples pra deduzir F 2 :

cos ⁡ θ = F 2 ρ A V - V c 2 → F 2 = ρ A V - V c 2 cos ⁡ θ

A força resultante, então, é:

F R = F 1 - F 2 = ρ A V - V c 2 1 - cos ⁡ θ

Pra calcular a potência fornecida pelo jato, fazemos simplesmente:

P = F R V c = ρ A V c V - V c 2 1 - cos ⁡ θ

Passo 3

Pra finalizar a questão, a gente vai pegar a expressão deduzida pra P e usá-la pra encontrar o seu máximo.

Você que é estudante de engenharia já sabe né? Pra achar o ponto de máxima ou mínimo numa função, a gente deriva e iguala a zero. Vamo fazer então:

d P V c = ρ A V - V c 2 - 2 V c V - V c 1 - cos ⁡ θ

d P V c = ρ A V - V c V - 3 V c 1 - cos ⁡ θ

Fazendo d P d V c = 0 , teremos:

V - V c V - 3 V c = 0

Considerando ( V - V c ) não pode ser igual a zero, vamos considerar:

V - 3 V c = 0

V c = 1 3 V

Ou seja, substituindo esse valor pra achar a potência máxima, será:

P m á x = 4 27 ρ A V ³ 1 - cos ⁡ θ

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

A velocidade para qual a potência é máxima é V c = 1 3 V

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