Enunciado

Quando lidamos com a lubrificação de rolamentos, a equação de governo que descreve a pressão é a equação de Reynolds, geralmente escrita em uma dimensão como:

Em que h é a altura do degrau e U é a velocidade da superfície inferior. O degrau tem um desenho relativamente simples, no qual são usados fluidos de baixa viscosidade, como água, gasolina e solventes. A espessura mínima do filme nessas aplicações é muito pequena. A altura do degrau deve ser pequena o suficiente para ter boa capacidade de carga, mas grande o suficiente para não ficar, depois de algum desgaste, liso e plano. Usando a equação unidirecional para o movimento do fluido na direção x, mostre que a distribuição de pressão no degrau do rolamento é a mostrada no gráfico, em que:

Passo 1

Sabendo que as equações que governam esse problema são as equações de Navier-Stokes, podemos analisa-las:

  ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

ρ ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z = ρ g x - ∂ p ∂ x + μ ∂ ² u ∂ x ² + ∂ ² u ∂ y ² + ∂ ² u ∂ z ²

ρ ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z = ρ g y - ∂ p ∂ y + μ ∂ ² v ∂ x ² + ∂ ² v ∂ y ² + ∂ ² v ∂ z ²

ρ ∂ w ∂ t + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z = ρ g z - ∂ p ∂ z + μ ∂ ² w ∂ x ² + ∂ ² w ∂ y ² + ∂ ² w ∂ z ²

As incógnitas marcadas foram eliminadas de acordo com as seguintes premissas:

(1) Escoamento permanente

(2) Escoamento incompressível ρ = c o n s t a n t e

(3) Sem escoamento e variação de propriedades na direção z; w = 0     e     ∂ / ∂ z = 0

(4) Escoamento totalmente desenvolvido, portanto sem variação de propriedades em x, exceto pressão. ∂ / ∂ x = 0

(5)   ∂ v / ∂ y = 0   e como v é constante e ele ser sempre zero. Assim como acontece próximo as superfícies.

(6) Não há forças de gravidade em y

Passo 2

Com o que sobrou nas equações, podemos observar que na direção y, a pressão é constante e por isso:

∂ p ∂ y = 0

Na direção x o resultado que temos é:

- ∂ p ∂ x + μ ∂ ² u ∂ y ² = 0

Integrando essa equação duas vezes, temos que:

μ 1 = 1 2 μ ∂ p ∂ x   1 y 2 + c 1 μ y + c 2

Sendo que o gradiente da região 1 é:

∂ p ∂ x   1 = c o n s t = P s L 1

Usando as condições de contorno, podemos encontrar as constantes. Para y = 0 ,   u = U temos que:

c 2 = U

Para y = h 1 ,   u = 0 temos que:

0 = 1 2 μ ∂ p ∂ x   1 h 1 2 + c 1 μ h 1 + U

c 1 = - 1 2 ∂ p ∂ x   1 h 1 - μ U h 1

Substituindo as constantes na equação:

μ 1 = 1 2 μ ∂ p ∂ x   1 y 2 - h 1 y + U y h 1 - 1

Para a região 2 a equação é a mesma da região 1

μ 2 = 1 2 μ ∂ p ∂ x   1 y 2 - h 2 y + U y h 2 - 1

Passo 3

O que conecta esses dois escoamentos é a vazão:

q = ∫ 0 h 1 u 1 d y = ∫ 0 h 2 u 2 d y

- 1 12 μ ∂ p ∂ x   1 h 1 3 - U h 1 2 = - 1 12 μ ∂ p ∂ x   2 h 2 3 - U h 2 2

Substituindo o gradiente:

- 1 12 μ P s L 1 h 1 3 - U h 1 2 = - 1 12 μ P s L 2 h 2 3 - U h 2 2

Isolando o P s como na equação do enunciado, temos:

P s 12 μ h 1 3 L 1 + h 2 3 L 2 = U h 2 2 + U h 1 2

P s = 6 μ U ( h 2 - h 1 ) h 1 3 L 1 + h 2 3 L 2  

Portanto, a distribuição de pressão no degrau do rolamento é:

P s = 6 μ U ( h 2 - h 1 ) h 1 3 L 1 + h 2 3 L 2

Resposta

      P s = 6 μ U ( h 2 - h 1 ) h 1 3 L 1 + h 2 3 L 2

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