Enunciado

PA11.6 – Uma turbomáquina interessante [58] é o acoplamento hidrodinâmico da Figura PA11.6, que circula fluido de um rotor de uma bomba primária e faz girar uma turbina secundária em outro eixo separado. Ambos os rotores têm pás radiais. Os acoplamentos são comuns em todos os tipos de transmissões e acionamentos em veículos e em máquinas. O deslizamento do acoplamento é definido como a diferença adimensional entre as rotações dos eixos,

d = 1 - ω s ω p

Para um dado volume de fluido, o torque T transmitido é uma função de d, ρ, ωp e do diâmetro D do rotor.

(a) Adimensionalize essa função em dois grupos pi, com um pi proporcional a T.

Testes feitos com um acoplamento de 0,305 m de diâmetro a 2.500 rpm, preenchido com fluido hidráulico de massa específica 897 kg/m3, resultaram nos seguintes dados de torque em função do deslizamento:

(b) Se esse acoplamento operar a 3.600 rpm, com que valor de deslizamento ele transmitirá um torque de 1.220 N.m?

(c) Qual é o diâmetro apropriado para um acoplamento geometricamente semelhante funcionar a 3.000 rpm e 5% de deslizamento e transmitir 813 N.m de torque?

Figura PA11.6

Passo 1

Usando o teorema pi:

-Escrever a função e contabilizar as variáveis:

T = f ( ρ , d , ω p , D )

Veja que são 5 variáveis;

Passo 2

-Listar as dimensões de cada variável:

As dimensões para cada uma dessas variáveis é, pela tabela 5.1 do White, cap. 5, pág. 310

T = M L 2 T 2

ρ = M L 3

d = 1   a d i m e n s i o n a l ;  

ω p = 1 T

D = L

Passo 3

-Determinar valor de j:

Vendo as dimensões de ρ, ωp, e D, vemos que estes não podem formar um grupo adimensional pi, pois entre eles só ρ possui M e ωp possui T, assim j=3. Sendo n o nº de variáveis, então;

n - j = 5 - 3 = 2 = k

Só temos dois grupos adimensionais independentes nesse problema;

Passo 4

-Vamos agora selecionaras variáveis para compor o grupo pi:

Nós podemos pegar exatamente essas três variáveis ρ, ωp, e D, para compor o grupo pi (Π1) proporcional a T

Π 1 = T ρ a ω p b D c = ( M L 2 T - 2 ) ( M L - 3 ) a ( T - 1 ) b ( L ) c = M 0 L 0 T 0

Equacionando os expoentes em um sistema linear:

Comprimento (L) 2 - 3 a + c = 0           E q 1

Massa (M) 1 + a = 0                               E q 2

Tempo (T) - 2 - b = 0                       E q 3

Pela Eq3 temos que

b = - 2

Pela Eq2

a = - 1

Pela Eq1

c = 3 a - 2 = - 3 - 2 = - 5

Logo,

Π 1 = T ρ a ω p b D c = T ρ - 1 ω p - 2 D - 5

T ρ ω p 2 D 5 = Π 1

Passo 5

-O outro grupo pi pode ser referente a variável deslizamento, pois essa já é uma variável adimensional

Π 2 = d

Passo 6

Vamos agora passar os dados da tabela para a forma adimensional, seguindo a expressão do grupo pi1 encontrado.

Lembrando que as unidades para as dimensões são

L = m ; M = k g ; T = s

Convertendo n para rps

n = 2500 r p m 1   m i n 60   s = 41,67 r p s

A tabela adimensionalizada é:

Passo 7

(B)

Se n=3600 rpm, para T=1220 N.m

Convertendo n para rps

n = 3600 r p m 1   m i n 60   s = 60 r p s

T ρ ω p 2 D 5 = 1220   N m 897 k g m 3 60   r p s 2 0,305   m 5 = 0,144

Assim, pela nova tabela com o torque adimensionalizado

d = 15,0 %

Passo 8

(C)

Se n=3000 rpm, para T=813 N.m...

Convertendo n para rps

n = 3000 r p m 1   m i n 60   s = 50 r p s

Para d=5%, pela tabela adimensionalizada

T ρ ω p 2 D 5 = 0,0297

Assim,

T ρ ω p 2 D 5 = 813   N m 897 k g m 3 50   r p s 2 D 5 = 0,0297

Basta você resolver essa equação para determinar D. Resolve-a

T ρ ω p 2 D 5 = 0,0297

0,0297 D 5 = T ρ ω p 2

D = T 0,0297 ρ ω p 2 1 5

Aplicando os valores

D = 813   N m 0,0297 897 k g m 3 50   r p s 2 1 5 = 0,41   m

Resposta

A)

T ρ ω p 2 D 5 = Π 1

Π 2 = d

B) d = 15,0 %

C)

D = 0,41 m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O tempo t d para drenar um líquido através de um furo no fundo de um tanque é uma função do diâmetro d do furo, do volume v0 inicial de fluido, da profundidade inicial h0 do líquido e da massa específ
Considera-se que o tamanho d das gotículas produzidas por um bico de spray de líquido depende do diâmetro D o bico, da velocidade U do jato e das propriedades do líquido ρ ,μeγ . Reescreva essa relaçã
A vazão em volume Q através de uma placa de orifício é uma função do diâmetro D do tubo, da queda de pressão Δ p através do orifício, da massa específica ρ e da viscosidade μ do fluido e do diâmetro d
Uma equação diferencial para modelar a dinâmica da reação química em um reator plug-flow, é a seguinte: u ∂ C ∂ x = D ∂ 2 C ∂ x 2 - k C - ∂ C ∂ t na qual u é a velocidade, D é um coeficiente de difusã
Uma bola de tênis de mesa padrão é lisa, pesa 2,6 g e tem um diâmetro de 3,8 cm. Se ela for golpeada com uma velocidade inicial de 137 km/h, (a) qual é a taxa de desaceleração inicial? (b) Qual é a in