Enunciado

Considere escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo circular. Use um volume de controle cilíndrico conforme mostrado. Indique as forças que atuam sobre o volume de controle. Usando a equação da quantidade de movimento, desenvola uma expressão para a distribuição de velocidade.

Passo 1

Beleza! Vamos começar desenhando o volume de controle com as forças atuantes sobre ele, então, temos:

Agora nós vamos escrever a equação do equilíbrio de momento na direção x vista no capítulo 4:

F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C   u ρ d V + ∫ S C   u ρ V → . d A →

No nosso caso, sabemos que não teremos força de campo atuando na direção x , então teremos F B x = 0 . Sabemos também que, como temos regime permanente, podemos simplificar a derivada no tempo. E, por fim, considerando escoamento totalmente desenvolvido, então podemos simplificar também a integral sobre a superfície de controle, dessa forma, a equação se resume as forças de superfície na direção x . Então a equação acima se torna:

p - ∂ p ∂ x . d x 2 π r 2 + τ r x 2 π r d x - p + ∂ p ∂ x . d x 2 π r 2 = 0

Então, simplificando os termos em comum, ficamos com:

- ∂ p ∂ x . d x 2 π r 2 + τ r r x 2 π r d x - ∂ p ∂ x . d x 2 π r 2 = 0

Agora, dividindo toda a equação por π r d x e agrupando os termos em comum, temos:

- r ∂ p ∂ x + 2 τ r x = 0 → τ r x = r 2 . ∂ p ∂ x

Passo 2

No entanto, nós sabemos que podemos escrever a equação para a tensão de cisalhamento como:

τ r x = μ d u d r

Então, igualando essa expressão à expressão obtida no passo 1, temos:

μ d u d r = r 2 . ∂ p ∂ x

Integrando essa expressão em relação à r , temos:

u = r 2 4 μ . ∂ p ∂ x + C 1

Para descobrir o valor de C 1 , vamos aplicar a condição de contorno para r = R , em que u = 0 , então, temos:

0 = R 2 4 μ . ∂ p ∂ x + C 1 → C 1 = - R 2 4 μ . ∂ p ∂ x

Então, a equação para o perfil de velocidade será:

u = r 2 4 μ . ∂ p ∂ x - R 2 4 μ . ∂ p ∂ x → u = 1 4 μ . ∂ p ∂ x r 2 - R 2

Resposta

u = 1 4 μ . ∂ p ∂ x r 2 - R 2

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