Enunciado

Medições da altura de líquido a montante de uma obstrução colocada em um escoamento de canal­ aberto podem ser usadas para determinar a vazão em volume. (Tais obstruções, projetadas e calibradas para medir a vazão de um escoamento de canal­ aberto, são chamadas de vertedores.) Considere que a vazão em volume, Q , sobre um vertedor é uma função da altura a montante, h , da gravidade, g , e da largura do canal, b . Use a análise dimensional para determinar a dependência funcional de Q em relação às outras variáveis.

Passo 1

Vamos precisar usar o Teorema Pi de Buckingham e depois identificar a equação que apresenta a dependência de Q

Começando por separar nossos parâmetros, temos n = 4 :

Q h g b

Passo 2

Agora vamos identificar o número mínimo de dimensões que podemos escrever os parâmetros que já separamos: Comprimento L e tempo t .

Vamos colocar as unidades correspondentes de cada parâmetro:

Q h g b

L 3 t L L t 2 L

Nosso número de dimensões independentes é r = 2 .

Passo 3

O nosso número mínimo de dimensões é m = 2 . Então já sabemos que r = m . Agora vamos calcular a quantidade de grupos adimensionais:

n - m = 2

Beleza!! Já podemos montar as equações:

Π 1 = Q * h a * g b

L 3 t * L a * L t 2 b = L 0 * t 0

Vamos analisar os expoentes:

L : 3 + a + b = 0

t : - 1 - 2 b = 0

Resolvendo esse sisteminha:

a = - 5 2 b = - 1 2

Passo 4

Nossa equação vai ficar assim:

Π 1 = Q * h a * g b

Π 1 = Q * h - 5 2 * g - 1 2

Π 1 = Q h 5 g

Π 1 = Q h 2 h g

Quê isso, hein! Agora a segunda!

Passo 5

É só fazer a mesma coisa para a segunda equação:

Π 2 = b * h a * g b

L * L a * L t 2 b = L 0 * t 0

Observando com atenção nossos expoentes:

L : 1 + a + b = 0

t : - 2 b = 0

A solução desse sistema nos dá os expoentes a e b :

a = - 1 b = 0

Então nós ficaremos com a segunda equação:

Π 2 = b * h a * g b

Π 2 = b * h - 1 * g 0

Π 2 = b h

Show! Agora vamos encontrar a equação que descreve Q .

Passo 6

Expressando a função, teremos:

Π 1 = f Π 2

Q h 2 h g = f b h

Q = h 2 h g f b h

Uhul!

Resposta

Q = h 2 h g f b h

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