Enunciado

Quando um micro-organismo se move em um fluido viscoso, a massa específica do fluido exerce uma influência praticamente desprezível sobre a força de arrasto sentida pelo micro-organismo. Esses escoamentos são muito lentos e viscosos (creeping flows). Os únicos parâmetros importantes no problema são a velocidade do movimento U , a viscosidade do fluido μ e a escala de comprimento do corpo. Admita aqui que o diâmetro d do corpo do micro-organismo é o comprimento de escala apropriado. (a) Usando o Teorema Pi de Buckingham, gere uma expressão para a força de arrasto F A em função dos demais parâmetros do problema. (b) O coeficiente de arrasto discutido neste capítulo, C A = F A / ( 1 2 ρ U 2 A ) , não é adequado para esse tipo de escoamento. Em vez dele, defina um coeficiente de arrasto mais apropriado e chame-o de C m v (para escoamento muito viscoso). (c) Para um micro-organismo de forma esférica, a força de arrasto pode ser calculada exatamente com as equações do movimento para escoamento muito viscoso. O resultado é F A = 3 π μ U d . Escreva expressões para ambas as formas de coeficiente de arrasto, C m v e C A , para uma esfera sob condições de escoamento muito viscoso.

Passo 1

Para a letra “a” vamos utilizar o Teorema Pi de Buckingham para encontrar uma expressão parar a força de arrasto em função da velocidade do movimento, da viscosidade do fluido e do diâmetro do corpo. Ou seja:

F A = g ( U , μ , d )

As dimensões dos parâmetros neste caso são:

F A = M L T 2 ;

U = L T ;

μ = M L T ;

d = L .

Logo, nós temos quatro parâmetros (n=4) e três dimensões ( M L T ) (j=3), ou seja, teremos ( n - j = 4 - 3 = 1 ) apenas um pi grupo, que vai ser:

Π 1 = F A U a μ b d c = M L T 2 L T a M L T b L c = M 0 L 0 T 0

M : 1 + b = 0

L :   1 + a - b + c = 0

T :   - 2 - a - b = 0

Resolvendo o sistema linear temos:

a = - 1

b = - 1

c = - 1

Logo:

Π 1 = F A U - 1 μ - 1 d - 1 = F A U μ d = c o n s t a n t e

F A = c o n s t a n t e * U μ d

E claramente a constante que é igual a Π 1 seria o coeficiente de arrasto mais apropriado para este caso, sendo assim:

C m v = Π 1 = F A U μ d

Passo 2

Para a letra “c” basta sabermos que:

C m v = Π 1 = F A U μ d

Logo:

C m v = 3 π μ U d U μ d = 3 π

Para encontrar C D vamos usar a relação:

F A = C D 1 2 ρ U 2 π 4 d 2

C D = F A 1 2 ρ U 2 π 4 d 2 = 3 π μ U d 1 2 ρ U 2 π 4 d 2 = 24 μ ρ U d

Como R e = ρ U d μ , logo:

C D = 24 R e

Resposta

Letra a)   F A = c o n s t a n t e * U μ d ;

Letra b) C m v = F A U μ d ;

Letra c) C m v = 3 π e C D = 24 R e .

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