Enunciado

O torque, T , de uma máquina manual para polir automóvel é uma função da velocidade de rotação, ω , da força normal aplicada, F , da rugosidade superficial do automóvel, e , da viscosidade da pasta polidora, μ , e da tensão superficial, σ . Determine os parâmetros adimensionais que caracterizam este problema.

Passo 1

Precisamos determinar os parâmetros adimensionais...Hummm… Vamos usar o Teorema Pi de Buckingham!

Começando por separar nossos parâmetros, temos n = 6 :

T ω F e μ σ

Passo 2

Agora vamos identificar o número mínimo de dimensões que podemos escrever os parâmetros que já separamos: Massa ( M ), comprimento L e tempo t .

Vamos colocar as unidades correspondentes de cada parâmetro:

T ω F e μ σ

M L 2 t 2 1 t M L t 2 L M L t M t 2

Nosso número de dimensões independentes é r = 3 .

Passo 3

O nosso número mínimo de dimensões é m = 3 . Então já sabemos que r = m . Agora vamos calcular a quantidade de grupos adimensionais:

n - m = 3

Vamos montar as equações:

Π 1 = T * F a * e b * ω c

M L 2 t 2 * M L t 2 a * L b * 1 t c = M 0 * L 0 * t 0

Vamos analisar os expoentes:

M :   a + 1 = 0

L : a + b + 2 = 0

t : - 2 a - c - 2 = 0

Resolvendo esse sisteminha:

a = - 1 b = - 1 c = 0

Passo 4

Nossa equação vai ficar assim:

Π 1 = T * F a * e b * ω c

Π 1 = T * F - 1 * e - 1 * ω 0

Π 1 = T F e

Agora a próxima, porque essa foi de boa!

Passo 5

É só fazer a mesma coisa para a segunda equação:

Π 2 = μ * F a * e b * ω c

M L t * M L t 2 a * L b * 1 t c = M 0 * L 0 * t 0

Observando com atenção nossos expoentes:

M :   a + 1 = 0

L : a + b - 1 = 0

t : - 2 a - c - 1 = 0

A solução desse sistema nos dá os expoentes a , b e c :

a = - 1 b = 2 c = 1

Então nós ficaremos com a segunda equação:

Π 2 = μ * F a * e b * ω c

Π 2 = μ * F - 1 * e 2 * ω 1

Π 2 = μ e 2 ω F

Show! Agora vamos continuar fazendo a mesma coisa, para achar o terceiro termo!

Passo 6

Π 3 = σ * F a * e b * ω c

M t 2 * M L t 2 a * L b * 1 t c = M 0 * L 0 * t 0

Observando com atenção nossos expoentes:

M :   a + 1 = 0

L : a + b = 0

t : - 2 a - c - 2 = 0

A solução desse sistema nos dá os expoentes a , b e c :

a = - 1 b = 1 c = 0

Então nós ficaremos com a segunda equação:

Π 3 = σ * F a * e b * ω c

Π 3 = σ * F - 1 * e 1 * ω 0

Π 3 = σ e F

Resposta

Π 1 = T F e Π 2 = μ e 2 ω F Π 3 = σ e F

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