Enunciado

Mostre que o coeficiente de energia cinética, α , para o perfil de velocidade turbulenta da "lei de potência” da Eq. 8.22 é dado pela Eq. 8.27. Trace α como uma função de R e , para R e   =   1   ×   10 4   a   1   ×   10 7 . Na análise de problemas de escoamento no interior de tubos é prática comum considerar α   ≈   1 . Trace um gráfico do erro associado a esta consideração como uma função de R e , para R e   =   1   ×   10 4   a   1   ×   10 7 .

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de Mecânica dos fluidos. A equação 8.26b é:

α = ∫ ρ V 3 d A m t a x a V m é d ²

Onde V é a velocidade, m t a x a é a taxa de fluxo de massa e V m é d é a velocidade média.

Para o perfil da lei de potência (Eq. 8.22):

V = U 1 - r R 1 n

Para a taxa de fluxo de massa:

m t a x a = ρ π R 2 V m é d

Logo, o denominador da equação 8.26b será:

m t a x a V m é d 2 = ρ π R 2 V m é d 3

Em seguida, devemos avaliar o numerador da Eq. 8.26b:

∫ ρ V 3 d A = ∫ ρ 2 π r U 3 1 - r R 3 n d r

∫ 0 R ρ 2 π r U 3 1 - r R 3 n d r = 2 π ρ R 2 n 2 U 3 3 + n 3 + 2 n

Qualquer dúvida sobre como resolvemos esta integral, é só dar uma olhada na parte de integrais no Responde aí, passei rápido por ela porque não é nosso foco.

Passo 2

Agora, temos o numerador e denominador da equação 8.26b:

α = ∫ ρ V 3 d A m t a x a V m é d 2 = 2 π ρ R 2 n 2 U 3 3 + n 3 + 2 n ρ π R 2 V m é d 3

Logo:

α = U V m é d 3 2 n 2 3 + n 3 + 2 n

Para plotar α versus R e V m é d , usamos as seguintes relações paramétricas:

n = - 1,7 + 1,8 log ⁡ R e u → E q   8.23

V m é d U = 2 n 2 n + 1 2 n + 1 → E q   8.24

R e V m é d = V m é d U R e U

α = U V m é d 3 2 n 2 3 + n 3 + 2 n

Um valor de R e U leva a um valor para n ; isso leva a um valor para V m é d U ; estes levam a um valor para R e V m é d e α .

Os gráficos de α e o erro ao assumir α   =   1 , versus R e V m é d , podem ser feitos no Excel.

Passo 3

Plotando os gráficos com a ajuda do Excel:

Resposta

α = 2

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