Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Capítulo 6.Exercício - Ex. 14

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É necessária a força de 15 N para rebocar uma placa de 1,5 m de comprimento por 15 cm de largura,totalmente submersa em um tanque de água, à velocidade de 6 m/s. Que dimensões deverá ter uma placa semelhante para que, rebocada no ar à velocidade de 30 m/s, se verifique semelhança completa? Nessas condições, que força é necessária para manter a placa em movimento?

Dados: ρ H 2 O = 1000   k g / m 3 ; ν H 2 O = 10 - 6   m 2 / s ; ρ a r = 1,2   k g / m 3 ; ν a r = 10 - 5   m 2 / s . Função representativa do fenômeno: f F , v , L , ρ , μ = 0 .

Passo 1

O primeiro passo é identificar a função representativa, nesse caso, o enunciado já nos forneceu.

f F , v , L , ρ , μ = 0

Agora vamos escrever a equação dimensional para cada uma das grandezas:

ρ = M L - 3 ; v = L T - 1 ; L = L ; μ = M L - 1 T - 1 ; F = M L T - 2 ;

Agora vamos calcular o número de adimensionais independentes m = n - r , nesse caso temos:

n = 5   g r a n d e z a s   e n v o l v i d a s   n o   f e n ô m e n o

r = 3   n ú m e r o   d e   g r a n d e z a s   f u n d a m e n t a i s   d o   f e n ô m e n o

Sendo assim, temos:

m = 5 - 3 → m = 2   ( g r u p o s   d i m e n s i o n a i s )

Passo 2

Agora vamos construir os números adimensionais:

π 1 = ρ α 1 v α 2 L α 3 μ  

π 2 = ρ β 1 v β 2 L β 3 F

Agora, substituindo cada uma das grandezas dimensionais nas equações, temos:

π 1 = ρ α 1 v α 2 L α 3 μ = M L - 3 α 1 L T - 1 α 2 L α 3 M L - 1 T - 1

Então, para que π 1 seja adimensional, temos:

α 1 + 1 = 0 → α 1 = - 1

- α 2 - 1 = 0 → α 2 = - 1

- 3 α 1 + α 2 + α 3 - 1 = 0 → - 3 - 1 + ( - 1 ) + α 3 - 1 = 0 → α 3 = - 1

Dessa forma, temos então:

π 1 = ρ - 1 v - 1 L - 1 μ → π 1 = μ ρ v L → R e = ρ v L μ R e y n o l d s

Agora, repetindo o processo para π 2 :

π 2 = ρ β 1 v β 2 L β 3 F = M L - 3 β 1 L T - 1 β 2 L β 3 M L T - 2

Então, para que π 2 seja adimensional, temos:

β 1 + 1 = 0 → β 1 = - 1

- β 2 - 2 = 0 → β 2 = - 2

- 3 β 1 + β 2 + β 3 + 1 = 0 → - 3 - 1 + - 2 + β 3 + 1 = 0 → β 3 = - 2

Dessa forma, temos então:

π 2 = ρ - 1 v - 2 L - 2 F → π 2 = F ρ v 2 L 2 → E u = F ρ v 2 L 2 E u l e r

Passo 3

Agora que encontramos os grupos dimensionais, sabemos que esses números devem ser iguais entre o modelo e o protótipo, ou seja:

E u m = E u p → F m ρ m v m 2 L m 2 = F p ρ p v p 2 L p 2

R e m = R e p → ρ m v m L m μ m = ρ p v p L p μ p → v m L m ν m = v p L p ν p

Vamos substituir os valores conhecidos na equação de Reynolds:

6 L m 10 - 6 = 30 L p 10 - 5 → L p = 2 L m

Ou seja, as dimensões do protótipo devem ser:

l m = 3   m ; b m = 30   c m

Agora vamos susbtituir os valores conhecidos na equação de Euler:

15 1000 6 2 L m 2 = F p 1,2 30 2 2 L m 2 → F p = 1,8   N

Resposta

l m = 3   m ; b m = 30   c m

F p = 1,8   N

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