Enunciado

Obtenha a relação para eficiência da aleta para a transversal da área A c , constante, perímetro p, comprimento L e condutividade térmica k, exposta a convecção para o meio a T ∞ com coeficiente de transferência de calor h. Considere que a aleta seja suficientemente longa para que a temperatura na sua ponta seja quase T ∞ . Tome a temperatura da aleta na base como sendo T b e despreze a transferência de calor a partir da sua ponta. Simplifica a relação para (a) aleta circular de diâmetro D e (b) aleta retangular de espessura t.

Passo 1

Beleza galera !!

Vamos começar a colocar em prática tudo que vimos na teoria!

Já sabemos que eficiência é dada por:

ɳ a l e t a = Q r e a l   d a   a l e t a ˙ Q i d e a l   d a   a l e t a ˙

Considerando que a aleta seja suficientemente longa nós teremos que:

Q r e a l   d a   a l e t a ˙ = h p k A c ( T b - T ∞ )

Agora, a taxa de transferência de calor ideal da aleta é dada por:

Q i d e a l   d a   a l e t a = h A a l e t a ( T b - T ∞ )

Lembrando que a área da aleta pode ser calculada como:

A a l e t a = p L

Vamos substituir tudo isso na fórmula do calor:

ɳ a l e t a = h p k A c ( T b - T ∞ ) h p L ( T b - T ∞ )

Simplificando:

ɳ a l e t a = k A c L h p = 1 L k A c h p

E é isso aí !! Achamos o que precisávamos para dar continuidade no problema.

Passo 2

Agora vamos simplificar esta relação para uma aleta circular de diâmetro D, ok??

Para isso nós vamos precisar saber qual a relação da área da seção transversal e do perímetro com o diâmetro.

A área é fácil, vocês já sabem de cor, não é mesmo??

A c = π D 2 4

Mas e quanto ao perímetro??

Fácil!!

p = π D

Agora é só colocarmos na fórmula que acabamos de achar:

ɳ a l e t a = 1 L k π D 2 4 h ( π D ) = 1 L k D 4 h

Ainda dá pra simplificar mais:

ɳ a l e t a = 1 2 L k D h

Agora siiim, achamos a resposta para a letra (a)!!

Bora pra (b)??

Passo 3

Agora queremos a eficiência para uma aleta retangular de espessura t, não é?

E como faremos?

Mesma coisa !! Achamos a área da seção transversal e o perímetro em função da espessura.

Se chamarmos a largura dessa aleta de w, a área da seção transversal será dada simplesmente por:

A c = w t

E o perímetro para um retângulo?

p = 2 w + t

Substituindo:

ɳ a l e t a = 1 L k w t 2 h w + t

Considerando que a espessura é muito menor que a largura dessa aleta:

ɳ a l e t a = 1 L k w t 2 h w = 1 L k t 2 h

Finalizamos mais umaa !!

Resposta

  1. ɳ a l e t a = 1 2 L k D h ;
  2. ɳ a l e t a = 1 L k t 2 h .
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