Enunciado

Dois tubos de vapor de ferro fundido k = 52 W m   ·   K de 4 m de comprimento e 0,4 cm de espessura e 10 cm de diâmetro externo são conectados entre si por meio de dois flanges de 1 cm de espessura e 18 cm de diâmetro externo. O vapor escoa no interior do tubo a uma temperatura média de 200°C com um coeficiente de transferência de calor de 180 W m 2   ·   K . A superfície externa do tubo está exposta a um ambiente a 12°C, com um coeficiente de transferência de calor de 25 W m 2   ·   K .

  1. Desconsiderando os flanges, determine a temperatura média da superfície externa do tubo;
  2. Usando esta temperatura para a base do flange e tratando-os como aletas, determine a eficiência da aleta e a taxa de transferência de calor a partir dos flanges;
  3. A seção dos flanges é equivalente a qual comprimento de tubo em transferência de calor?

Passo 1

Boom galera, o que temos aqui??

Na letra (a) estamos considerando apenas o tubo, sem os flanges, certo?

Se é assim, nós temos três resistências atuando aqui, a convectiva interna e externa e a condutiva apresentada pelo tubo:

R   i = 1 h i × A i

R 1 = R c i l i n d r o , f e r r o = ln ⁡ d e x t d i n t 2 π k a ç o L

R e x t = 1 h e x t × A e x t

Já sabemos como calcular as resistências, só precisamos das áreas.

A área interna da seção transversal é dada por:

A i n t = π d i n t L

A i n t = π ( 0,092   m ) ( 4   m ) = 1,156   m 2

Para a área externa nós levamos em consideração o diâmetro externo do tubo de ferro:

A e x t = π d e x t L

A e x t = π ( 0,1   m ) ( 4   m ) = 1,257   m 2

Passo 2

Agora vamos calcular as resistências:

R   i = 1 180 W m 2   ·   K × 1,156   m 2 = 0,0048 K W

R 1 = R c i l i n d r o , f e r r o = ln ⁡ 0,1 0,092 2 π 52 W m   ·   K ( 4   m ) = 0,0000638 K W

R e x t = 1 25 W m 2   ·   K × 1,257   m 2 = 0,03182 K W

Como todas estão em série a resistência total será:

R   T o t a l = R   i + R   1 + R   e x t = 0,0367 K W

Com a resistência nós podemos achar qual a taxa que calor atravessa o tubo:

Q ˙ = T   i n t - T   ∞ R   T o t a l

Substituindo:

Q ˙ = 200 ° C - 12 ° C 0,0367 K W

Como a variação em graus Celsius e kelvin é a mesma:

Q ˙ = 5123,8   W

Mas não respondemos a pergunta, queremos saber qual a temperatura na superfície do tubo.

Se levarmos em conta que a transferência de calor não muda, e analisando somente a resistência interna e a condutiva nós podemos transformar a equação do calor em algo que resolva nossa questão:

Q ˙ = T   i n t - T   s u p R   i + R   1

Substituindo:

5123,8   W = 200 ° C - T   s u p 0,0048 K W + 0,0000638 K W

T   s u p = 175,05 ° C

É isso aii! Achamos a letra (a) !!

Passo 3

Bora pra (b)??

Nela nós queremos a eficiência da aleta e a taxa de transferência de calor a partir dos flanges.

Para achar a eficiência vamos usar o gráfico que foi dado no livro:

Vamos precisar achar a razão r 2 c r 1 e ξ .

Começando pela razão e lembrando que:

r 2 c = r 2 + t 2

Então:

r 2 c r 1 = r 2 + t 2 r 1 = d 2 2 + t 2 d 1 2

Substituindo:

r 2 c r 1 = 10   c m + 2   c m 9,2   c m = 1,3

E quanto ao ξ :

ξ = L c h k t

Se:

L c = L + t 2 = D 2 - D 1 2 + t 2

Então:

ξ = L + t 2 h k t

Substituindo:

ξ = 10   c m - 9,2 c m 2 + 0,02   m 2 25 W m 2   ·   K 52 W m   ·   K ( 0,02   m )

ξ = 0,05 × 4,9 = 0 , 2 45

Analisando o gráfico para ξ = 0,245 e r 2 c r 1 = 1,3 , a eficiência será próxima de 0,95.

Então:

ɳ a l e t a = 9 5 %

Achamos uma das respostas que precisamos mais ainda não terminamos a letra b!!

Passo 4

Agora nós queremos a taxa de transferência de calor. E para isso basta nós usarmos a fórmula que já nos foi dado, certo?

Não se lembram?

Eu mostro pra vocês:

Q   a l e t a ˙ = h A a l e t a ( T b - T ∞ )

Como nós temos uma eficiência de 95% a fórmula vai ficar um pouco diferente:

Q   a l e t a ˙ = ɳ a l e t a h A a l e t a ( T b - T ∞ )

Isso porque nós precisamos levar em conta essa eficiência para achar uma resposta adequada ao problema, beleza?

Nós temos quase tudo o que precisamos:

h = 25 W m 2   ·   K

T b = 175,05 ° C

T ∞ = 12 ° C

Mas falta a área!!

Só que para calcula-la nós podemos usar uma formulazinha também:

A a l e t a = 2 π ( r 2 2 - r 1 2 ) + 2 π r 2 t

Como estamos falando da aleta, o raio 2 será o raio maior e o raio 1 será o raio do orifício, tudo bem até aqui??

Agora que sabemos a fórmula e os dados é só substituir:

A a l e t a = 2 π 0,09 2 - 0,05 2 m 2 + 2 π 0,09   m 0,02   m = 0,0464   m 2

Beleza!!

Se temos tudo o que precisamos agora é só calcular a taxa para transferência de calor:

Q   a l e t a ˙ = 0,95 × 25 W m 2   ·   K × 0,0464   m 2 ( 175,05 ° C - 12 ° C )

Como a variação em graus Celsius e em kelvin é a mesma:

Q   a l e t a ˙ = 179,67   W

Agooora sim !! Finalizamos a letra (b) !!

Passo 5

Fiquem calmos que ainda não acabou, precisamos da letra (c)!

Aqui nós queremos saber qual é o comprimento do tubo em transferência de calor que equivale a seção dos flanges.

Para isso vamos precisar do quanto de calor é transferido por metro do tubo e aí relacionar à transferência de calor que ocorre nos flanges.

Vamos começar achando a transferência de calor por metro de tubo, ok?

No passo 2 nós vimos que o tubo transfere 5123,8   W ao longo dos seus 4 m de comprimento, então:

Q p o r   m e t r o ˙ = Q ˙ L

Substituindo:

Q p o r   m e t r o ˙ = 5123,8   W   4   m 1280,95 W m

Agora vamos relaciona-lo com a transferência de calor pela aleta para achar o comprimento.

Para isso basta nós usarmos a relação:

L = Q a l e t a ˙ Q p o r   m e t r o ˙

Substituindo fica fácil:

L = 179,67   W 1280,95 W m = 0,14026   m

Ou melhor:

L = 14,026   c m

E finalizamos mais uma galerinhaa !!

Resposta

  1. 175,05 ° C ;
  2. 9 5 % e 179,67   W ;
  3. 14,026   c m .
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