Enunciado

O óleo de motor à temperatura T = 60 ° C é forçado entre duas placas planas paralelas, permanentes, muito grandes separadas por um espaçamento de altura h = 2,5   m m (Fig. P9-77). As dimensões da placa são L = 1,5   m e W = 0,75   m . A pressão de saída é a pressão atmosférica, a pressão de entrada é de 1 atm manométrica. Estime a vazão em volume de óleo. Calcule também o número de Reynolds do fluxo de óleo, com base na altura h e velocidade média V . O escoamento é laminar ou turbulento?

Passo 1

Sinto cheiro de questão boa aqui ein !!

Animados para começar?

Boom, vamos assumir aqui que o escoamento é permanente, incompressível e totalmente desenvolvido, ok?

E mais uma coisa!! Podemos assumir que o fluido está escoando ao longo do eixo x, certo?

Portanto, não vai haver velocidade na direção y!!

Se não temos velocidade na direção y, o fluxo de óleo pode ser calculado como:

V ˙ = ∫ u . d A

Vamos precisar achar tanto u quanto d A , certo?

Vamos começar pelo d A ‼ Uma área diferencial será dada em função da largura e da variação de y:

d A = W . d y

E a velocidade na direção x, u ?

Para o caso de um escoamento completamente desenvolvido, em duas dimensões ao longo de duas placas paralelas:

u = 1 2 μ . d P d x y 2 - h y

Agora que temos tudo o que precisamos podemos colocar na integral, certo?

V ˙ = ∫ 1 2 μ . d P d x y 2 - h y . W . d y

Mas não se esqueçam, o y aqui varia de zero até a altura h entre as placas:

V ˙ = ∫ 0 h 1 2 μ . d P d x y 2 - h y . W . d y

Tirando da integral o que não varia com o y:

V ˙ = W 2 μ . d P d x ∫ 0 h y 2 - h y . d y

E integrando:

V ˙ = W 2 μ . d P d x y 3 3 - h y 2 2 h 0

V ˙ = W 2 μ . d P d x h 3 3 - h 3 2

V ˙ = - W h 3 12 μ . d P d x

Passo 2

Agora precisamos dar nomes aos bois!!

Olhando a Tabela A.7 para o óleo de motor a 60°C:

ρ = 863,9 k g m 3

μ = 0,07399 k g m . s

O problema nos disse que:

h = 2,5   m m = 0,0025   m

W = 0,75   m

A única coisa que ainda não é o valor para d P d x . Mas nós temos uma fórmula para isso, querem ver?

d P d x = P s a i - P e n t r a L

Vamos ver o que o problema nos deu?

P s a i = 0   a t m

P e n t r a = 1   a t m

L = 1,25   m

Bora substituir?

d P d x = 0   a t m - 1   a t m 1,25   m

d P d x = - 1   a t m 1,25   m × 1,01325 × 10 5 N m 2 1   a t m   = - 1,01325 × 10 5 N m 2 1,25   m  

d P d x = - 81,06 × 10 3 N m 3

Substituindo na fórmula do Passo 1:

V ˙ = - 0,75   m 0,0025   m 3 12 0,07399 k g m . s . - 81,06 × 10 3 N m 3

V ˙ = 1,07 × 10 - 3 m 3 s

Passo 3

Leegal !! Achamos uma das respostas, mas ainda precisamos achar a velocidade, não é?

Se lembram como a velocidade se relaciona com o fluxo?

V = V ˙ A c

A área da seção transversal do escoamento é dado pela largura vezes a altura do canal:

A c = W . h

A c = 0,75   m . 0,0025   m

A c = 0,001875   m 2

Substituindo:

V = 1,07 × 10 - 3 m 3 s 0,001875   m 2

V = 0,571 m s

E chegamos ao fim de mais uma, galerinhaa !!

Resposta

V ˙ = 1,07 × 10 - 3 m 3 s

V = 0,571 m s

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