Enunciado

Em uma laje comprida de largura W (na direção do fluxo de calor, x) e espessura Z, ocorre condução de calor unidimensional permanente. A condutividade térmica da laje varia com a temperatura, k = k * / ( T * + T ) , onte T é a temperatura (em K), e k * (em W/m) e T * (em K) são duas constantes. As temperaturas em x = 0 e x = W são T 0 e T W , respectivamente. Mostre que o fluxo de calor em operação permanente é dado por:

q ˙ = k * W ln ⁡ T * + T 0 T * + T W

Além disso, calcule o fluxo de calor para T * = 1000   K , T 0 = 600   K , T W = 400   K , k * = 7 ⋅ 10 4   W / m e W = 20   c m .

Passo 1

O nosso primeiro passo é fazer considerações para resolver o nosso problema. Sendo assim, temos um problema de regime permanente, com condução de calor unidimensional, sem geração de calor, mas a condutividade térmica não é constante.

Agora, vamos relembrar a equação do fluxo de calor. Pela lei de Fourier, sabemos que:

q ˙ = - k T d T d x

Substituindo a função condutividade térmica, temos:

q ˙ = - k * T * + T d T d x

Agora, precisamos isolar os termos diferenciais e resolver esta equação de primeira ordem separável. Aplicando as condições de contorno das superfícies, temos:

- q ˙ k * d x = d T T * + T

- q ˙ k * ∫ 0 W d x = ∫ T 0 T W d T T * + T

- q ˙ k * x 0 W = ln ⁡ T * + T T 0 T W

- q ˙ k * ⋅ W = ln ⁡ T * + T W - ln ⁡ T * + T 0

- q ˙ k * ⋅ W = ln ⁡ T * + T W T * + T 0

Agora, basta isolarmos o termo do fluxo. Desta forma o fluxo de calor é dado por:

q ˙ = - k * W ln ⁡ T * + T W T * + T 0 = k * W ln ⁡ T * + T 0 T * + T W

E assim acabamos de demonstrar a fórmula que a questão nos pediu!

Passo 2

Para finalizarmos a questão, basta substituirmos os valores das constantes na função fluxo e encontrarmos o seu valor. Desta forma,

q ˙ = k * W ln ⁡ T * + T 0 T * + T W

q ˙ = 7 ⋅ 10 4 0,2 ln ⁡ 1000 + 600 1000 + 400

q ˙ = 35 ⋅ 10 4 ⋅ ln ⁡ 1600 1400

q ˙ = 46,7   k W / m 2

Resposta

O fluxo de calor nas condições dadas é:

q ˙ = 46,7   k W / m 2

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