Enunciado

Uma pastilha de silício com espessura de 925   μ m é aquecida com um fluxo de calor uniforme na superfície inferior. A pastilha de silício tem uma condutividade térmica que varia com a temperatura e pode ser expressa como k T = a + b T + c T 2   W / m ⋅ K , onde a = 437 , b = - 1,29 e c = 0,00111 . Para evitar a deformação, a diferença de temperatura na espessura da pastilha não pode exceder 2 °C. Considerando que a superfície superior da pastilha de silício está na temperatura uniforme de 600 K, determine o máximo permitido de fluxo de calor.

Passo 1

O nosso primeiro passo é fazer considerações para resolver o nosso problema. Sendo assim, temos um problema de regime permanente, com condução de calor unidimensional, geração de calor, mas a condutividade térmica não é constante.

Como estamos trabalhando com uma placa, vamos utilizar o sistema de coordenadas retangular. Como queremos determinar o fluxo de calor, precisamos resolver a seguinte equação:

Q ˙ = - k T d T d x

Temos uma EDO. E agora? Nosso primeiro passo é substituir a função condutividade térmica. Com isto, temos:

Q ˙ = - a + b T + c T 2 d T d x

Passo 2

Agora, nosso papel é tentar resolver a EDO obtida no passo anterior. Ela é uma EDO de primeira ordem separável. Portanto, vamos separar os termos d T e d x e integrar a nossa equação. Sendo assim,

Q ˙ d x = - a + b T + c T 2 d T

∫ 0 L Q ˙ d x = ∫ T 1 T 2 - a + b T + c T 2 d T

Observem que os limites de integração correspondem aos limites físicos da nossa pastilha. Integrando, temos:

Q ˙ ⋅ L = - a T + b T 2 2 + c T 3 3 T 1 T 2

Q ˙ = - 1 L ⋅ a T 2 - T 1 + b T 2 2 - T 1 2 2 + c T 2 3 - T 1 3 3

Quase lá! Saber quem é T 2 , pois a questão nos informa quem é T 1 . Como a diferença entre as temperaturas das superfícies não deve ultrapassar o valor de 2 °C, então, automaticamente, T 2 é igual a 602 °C ou 598 °C. Temos 50% de chance agora!

E o que utilizaremos para identificar? Simples! Vamos usar o desenho da questão! Observem o sentido do fluxo de calor. Ele vai da maior temperatura para a menor temperatura! Portanto, a maior temperatura é na superfície de baixo T 1 . Logo, T 2 = 598   ° C . Agora sim, substituindo todos os valores na nossa equação, temos:

Q ˙ = - 1 925 ⋅ 10 - 6 437 ⋅ 598 - 600 - 1,29 ⋅ ( 598 2 - 600 2 ) 2 + 0,00111 ⋅ 598 3 - 600 3 3

Q ˙ = 1,35 ⋅ 10 5   W / 2

E chegamos a nossa solução.

Resposta

Q ˙ = 1,35 ⋅ 10 5   W / 2

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