Enunciado

A parede plana mostrada na figura, com propriedades constantes e sem geração interna de calor, está inicialmente a uma temperatura uniforme T i . De repente, a superfície em   x   =   L é aquecida por um fluido à temperatura T ∞ , com um coeficiente de transferência de calor por convecção h . A fronteira em x   =   0 encontra-se perfeitamente isolada.

(a) Escreva a equação diferencial e identifique as condições inicial e de contorno que podem ser usadas para determinar a temperatura na parede em função da posição e do tempo.

(b) Em coordenadas T   -   x , esboce as distribuições de temperaturas para as seguintes condições: condição inicial ( t   ≤   0 ) , condição de regime estacionário ( t   →   ∞ ) , e dois tempos intermediários.

(c) Em coordenadas q x ' ' -   t , esboce o fluxo térmico nas posições x   =   0   e x   =   L . Ou seja, mostre qualitativamente como q x ' ' ( 0 ,   T )   e q x ' ' ( L ,   T ) variam com o tempo.

(d) Escreva uma expressão para a quantidade total de energia transferida para a parede por unidade de volume da parede ( J / m 3 ) .

Passo 1

Vamos lá! primeiro vamos entender nosso problema, o problema diz que se trata de um sistema unidimensional, logo a troca de calor só ocorre em uma direção, vamos fazer nosso diagrama pra facilitar nossa vida.

Origem e sentido do aquecimento da parede.

Agora precisamos fazer nossas famosas considerações. Hehe (u.u)

I - C o n d u ç ã o   u n i d i m e n s i o n a l

I I - N ã o   h á   g e r a ç ã o   i n t e r n a   d e   c a l o r

I I I - P r o p r i e d a d e s   c o n s t a n t e s

Passo 2

(a)

Tendo tudo isso em mente vamos a nossa letra (a), que nos pede as condições de contorno e a nossa equação diferencial. Para isso vamos escrever nossa lei de Fourier (equação 2.21 ).

Como nossa condução é unidimensional e não há geração de energia, temos:

Assim nossa equação fica:

∂ 2 T ∂ x 2 = 1 α ⋅ ∂ T ∂ t

Como quanto t = 0 nosso fluido aquecedor não aqueceu nossa superfície então a temperatura é T i , assim nossa equação fica:

T x , 0 = T i

Agora pra nossas condições de contorno, na superfície contraria ao aquecedor, não tem fluxo de calor, já que está isolada. Na outra superfície o fluxo de calor vai ser máximo, ou seja:

x = 0 ,   ∂ T ∂ x 0 = 0

x = L ,   q L ' ' = - k ∂ T ∂ x L = h T L - T ∞

Passo 3

(b) Bem nosso problema nos pede uma representação gráfica da distribuição de temperatura ao longo da superfície, vamos calcular nossa T ( x )

- ∂ 2 T ∂ x 2 = 1 α ⋅ ∂ T ∂ t ,

Integrando duas vezes em função de t e x temos:

∫ ∫ - ∂ 2 T ∂ t = ∫ 1 α ∂ T ∂ x 2

T x ,   t = t ⋅ e x + c a

Como não existe geração de calor e E e n t r a = E s a i , eventualmente nosso gradiente de temperatura vai se tornar constante.

Assim sendo um aquecimento em duas etapas: (Imagina que ligamos um secador contra a parede deixamos a parede aquecer, então desligamos e religamos rápido o aquecedor e começa novamente o processo).

Passo 4

(c) Vamos lá! Nosso problema pede pra escrevermos o fluxo de calor em função do tempo. Temos que lembrar que no regime permanente nosso fluxo vai ser dado por:

-   q x ' ' = k ∂ T ∂ x = - h T i - T ∞

Como com o passar do tempo a diferença de temperatura da superfície vai ser igual a temperatura do fluido que tá aquecendo a superfície.

T i - T ∞ → 0 ,   q x ' ' → 0

Assim nosso gráfico fica assim.

Passo 5

(d) Estamos terminando! Para escrevermos nossa expressão pra quantidade total de energia transferida temos que integrar nosso fluxo de calor, assim temos:

E e n t r a = ∫ 0 ∞ q t ˙ A s d t

E e n t r a = h A s ∫ 0 ∞ T ∞ - T L ,   t d t

Sendo A s a área da superfície vamos dividir ambos os lados pelo volume, que é dado por A s L .

E e n t r a V = h L ∫ 0 ∞ T ∞ - T L ,   t d t               J m 3

Isso é tudo pessoal! \o/

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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