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desse livro

O sistema unidimensional, mostrado na figura, tem massa M , propriedades constantes, não apresenta geração de calor em seu interior e encontra-se inicialmente a uma temperatura uniforme T i . O aquecedor elétrico é subitamente energizado, fornecendo um fluxo térmico uniforme na superfície x   =   0 . A fronteira em x   =   L , bem como todas as demais fronteiras

do sistema, encontram-se perfeitamente isoladas.

(a) Escreva a equação diferencial e identifique as condições inicial e de contorno que poderiam ser usadas para determinar a temperatura em função da posição e do tempo no sistema.

(b) Em coordenadas T   -   x , esboce as distribuições de temperaturas para a condição inicial ( t   ≤   0 ) e para vários outros instantes de tempo após o aquecedor ser energizado. Uma distribuição de temperaturas em estado estacionário será atingida em algum instante?

(c) Em coordenadas q x ' ' -   t , esboce o fluxo térmico q x ' ' ( x ,   t ) nos planos x   =   0 , x   =   L / 2 e x   =   L em função do tempo.

(d) Após haver transcorrido um intervalo de tempo t e desde a energização do aquecedor, a sua alimentação elétrica é desligada. Considerando que o isolamento térmico é perfeito, após certo tempo o sistema finalmente atingirá uma temperatura final uniforme T f . Desenvolva uma expressão que permita determinar T f em função dos parâmetros q 0 ' ' ,   t e ,   T i e das características do sistema M ,   c p   e   A s (a área superficial do aquecedor).

Passo 1

Vamos lá! primeiro vamos entender nosso problema, o problema diz que se trata de um sistema unidimensional, logo a troca de calor só ocorre em uma direção, tem uma temperatura inicial, T i e só recebe calor somente sobre uma superfície enquanto as demais estão isoladas.

Origem e sentido da transmissão de calor.

Agora precisamos fazer nossas famosas considerações. Hehe (u.u)

I - C o n d u ç ã o   u n i d i m e n s i o n a l

I I - N ã o   h á   g e r a ç ã o   i n t e r n a   d e   c a l o r

I I I - P r o p r i e d a d e s   c o n s t a n t e s

Passo 2

(a)

Tendo tudo isso em mente vamos a nossa letra (a), que nos pede as condições de contorno e a nossa equação diferencial. Para isso vamos escrever nossa lei de Fourier (equação 2.21 ).

Como nossa condução é unidimensional e não há geração de energia, temos:

Assim nossa equação fica:

∂ 2 T ∂ x 2 = 1 α ⋅ ∂ T ∂ t

Como quanto t = 0 nosso aquecedor está desligado nossa temperatura é T i , assim nossa equação fica:

T x , 0 = T i

Agora pra nossas condições de contorno, na superfície contraria ao aquecedor, não tem fluxo de calor, já que está isolada. Na outra superfície o fluxo de calor vai ser máximo, ou seja:

x = L ,   ∂ T ∂ x L = 0

x = 0 ,   q 0 ' ' = - k ∂ T ∂ x 0

Passo 3

b) Pra gente esboçar o gráfico vamos fazer intuitivamente como ele faz no exemplo do livro... (até porque fica impraticável resolver ∂ 2 T ∂ x 2 = 1 α ⋅ ∂ T ∂ t e ele nem quer isso... rs)

Mas vamos usar as nossas condições de contorno.

x = L ,   ∂ T ∂ x L = 0

Mas isso significa que a derivada de T em x=L é igual a zero, né??? Então a reta tangente vai ser horizontal...

E a outra:

x = 0 ,   q 0 ' ' = - k ∂ T ∂ x 0

Que nos diz que em x=0:

∂ T ∂ x 0 = - q 0 ' ' k

Então a derivada de T em x=0 vai ser sempre negativa. Então a reta tangente vai ter inclinação negativa.

Se liga só no gráfico:

Mas a gente tendo essas tangentes aí o gráfico que cabe nessas características é esse aqui:

Repara que conforme t vai aumentando, vai se afastando mais de T i .

O estado estacionário não será atingido pois a energia acumulada é igual a energia que entra, já que não tem “fuga de energia”, como a energia que entra é constante. Não existirá estado estacionário.

E ˙ e n t r a = E ˙ a c u

Passo 4

(c) Vamos lá seguindo a lógica do nosso gr��fico passado, temos:

Para o instante t = 0 nosso aquecedor está desligado, como a superfície L está isolada não temos fluxo de calor.

Após isso nosso aquecedor é ligado, a superfície em contato imediato com ele tem fluxo constante q 0 ' ' , já em L 2 o fluxo sobe lentamente até ficar constante.

Passo 5

(d) Se nosso aquecedor for ligado e desligado após um tempo t e o sistema eventualmente atingirá uma temperatura constante T f , vamos fazer o balanço de energia pro sistema usando a equação 1.12 b , assim temos:

E e n t r a = E a c u m u l a d a

E e n t r a = Q e n t r a = ∫ 0 t e q 0 ' ' A s d t = q 0 ' ' A s t e

E a c u m u l a d a = M c p T f - T i

Assim temos que:

q 0 ' ' A s t e = M c p T f - T i

Organizando nossa equação temos:

T f = T i + q 0 ' ' A s t e M c p

Isso é tudo pessoal! \o/

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