A passagem de uma corrente elétrica através de um longo bastão condutor, de raio r_i e condutividade térmica k_b , resulta em um aquecimento volumétrico uniforme a uma taxa q . O bastão condutor é coberto por um revestimento de material não condutor elétrico, com raio externo r_e e condutividade térmica k_r . A superfície externa é resfriada por convecção por um fluido.

Para condições de regime estacionário, escreva formas apropriadas da equação do calor para o bastão e para o revestimento. Escreva também as condições de contorno apropriadas para a solução dessas equações.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado quer que a gente determine diferentes formas da gente escrever a equação do calor para o bastão e para o revestimento. Além disso, nós precisamos saber quais são as nossas condições de contorno.

Nós temos um bastão condutor que é revestido por um material não condutor e a superfície externa é resfriada por convecção em um fluido:

Esse problema envolve duas regiões distintas: o bastão condutor (região interna) e o revestimento (região externa), ambas em coordenadas cilíndricas.

Então, o que nós vamos fazer é determinar a equação do calor em coordenadas cilíndricas, considerando a região de condução do bastão ( 0 ≤ r ≤ r i ) e considerando a região do revestimento ( r i ≤ r ≤ r e ).

Vamos nessa!

Passo 2

Bom, vamos começar escrevendo nossa equação da transferência de calor para o bastão.

A forma geral da equação do calor em regime estacionário, unidimensional (assumindo simetria radial ∂ ∂ ϕ = 0 e bastão longo ∂ ∂ z = 0 ) com geração de calor interna   q ˙ é:

1 r d d r r k d T d r + q ˙ = 0

Na região do bastão condutor, temos 0 ≤ r ≤ r i . O bastão condutor possui condutividade térmica k b e geração de calor volumétrica uniforme   q ˙ . Então, a equação do calor vai ficar:

1 r d d r r k b d T b d r + q ˙ = 0

Simplificando (assumindo k b constante), temos:

1 r d d r r d T b d r + q ˙ k b = 0

Devido à simetria geométrica e térmica no centro do bastão, o gradiente de temperatura deve ser zero. Então, nossa primeira condição de contorno ( C C 1 ), para o centro do bastão, é:

r = 0 ,     d T b d r = 0

A temperatura do bastão deve ser igual à temperatura do revestimento na interface. Então, a segunda condição de contorno ( C C 2 ), para a interface r = r i e a continuidade de temperatura, é:

r = r i ,     T b r i = T r r i

Passo 3

Agora vamos formular a equação para o revestimento ( r i ≤ r ≤ r e ).

O revestimento possui condutividade térmica k b e não tem geração de calor interna (  q ˙ = 0 ). Então, nossa equação do calor vai ficar:

1 r d d r r k r d T r d r + 0 = 0

Simplificando (assumindo k r constante), temos:

1 r d d r r d T r d r = 0

A condição de contorno 3 ( C C 3 ) é para a interface r = r i e a continuidade do fluxo de calor. O fluxo de calor por condução que sai do bastão deve ser igual ao fluxo de calor por condução que entra no revestimento. Então, temos:

- k b d T b d r r i = - k r d T r d r r i

E a quarta condição de contorno ( C C 4 ) é a para a superfície externa r = r e e a condição de convecção. O fluxo de calor por condução que chega à superfície externa do revestimento é igual ao fluxo de calor transferido por convecção para o fluido externo T ∞ ,   h . Assim, temos:

- k r d T r d r r e = h T r r e - T ∞

Uhul! Conseguimos!

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 r d d r r d T b d r + q ˙ k b = 0

C C 1 :   r = 0 ,     d T b d r = 0

C C 2 :   r = r i ,     T b r i = T r r i

1 r d d r r d T r d r = 0

C C 3 :   - k b d T b d r r i = - k r d T r d r r i

C C 4 :   - k r d T r d r r e = h T r r e - T ∞

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados