Enunciado

A passagem de uma corrente elétrica através de um longo bastão condutor, de raio r i e condutividade térmica k b , resulta em um aquecimento volumétrico uniforme a uma taxa q . O bastão condutor é coberto por um revestimento de material não condutor elétrico, com raio externo r e e condutividade térmica k r . A superfície externa é resfriada por convecção por um fluido.

Para condições de regime estacionário, escreva formas apropriadas da equação do calor para o bastão e para o revestimento. Escreva também as condições de contorno apropriadas para a solução dessas equações.

Passo 1

Fala aí! Partiu fortalecer nossos conhecimentos com essa questãozinha aí, beleza?

Essa questão quer saber diferentes formas da gente escrever a equação do calor para o bastão e para o revestimento… E além disso quais são as nossas condições de contorno…

Vamos nessa!

Passo 2

Bom, vamos começar escrevendo nossa equação da transferência de calor para o bastão, ok?

q =   -   k b r .   d d r r   .   d T b d r

Show! Agora é só fazer o mesmo para o revestimento:

q =   -   k r r .   d d r r   .   d T r d r

Mas como o enunciado nos diz que a passagem de corrente se dá ao longo do bastão e o nosso revestimento não é um condutor elétrico, então nosso q e nosso k r não existem na equação…

E nossa equação para o revestimento ficará com a seguinte carinha:

d d r r   .   d T r d r = 0

Beleza?

E se a gente considerar um fluxo unidimensional, em estado estacionário e com propriedades constantes… Vamos ter as seguintes condições de contorno:

Quando r = 0 :

d T b d r = 0 e - k r   .   d T r d r = h   .   T b ( r 0 ) - T ∞

Quando o condutor e o revestimento se tocarem

T b ( r 1 ) = T r ( r 1 ) e k b   .   d T b d r = k r   .   d T r d r

Uhul! Conseguimos!

Resposta

A equação de calor para o bastão será: q =   -   k b r .   d d r r   .   d T b d r

A equação de calor para o revestimento será: d d r r   .   d T r d r = 0

Nossas seguintes condições de contorno:

Quando r = 0 :

d T b d r = 0 e - k r   .   d T r d r = h   .   T b ( r 0 ) - T ∞

Quando o condutor e o revestimento se tocarem

T b ( r 1 ) = T r ( r 1 ) e k b   .   d T b d r = k r   .   d T r d r

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