Enunciado

Uma casca esférica com raios interno e externo r i e r e , respectivamente, contém componentes que dissipam calor de modo que em um dado instante de tempo a distribuição de temperaturas na casca é representada por uma expressão com a forma

T ( r ) = C 1 r + C 2

Essas condições correspondem a um regime estacionário ou transiente? Como o fluxo térmico e a taxa de transferência de calor variam em função do raio?

Passo 1

Fala aí! Partiu fortalecer nossos conhecimentos com essa questãozinha aí, beleza?

Essa questão quer saber se a condição dada está em um regime estacionário ou transiente… E além disso como o fluxo térmico e a taxa de calor variam com o raio…

Vamos nessa!

Passo 2

Bom, vamos começar considerando um fluxo unidimensional, em estado estacionário e com propriedades constantes, ok?

Dessa forma nossa equação para a casca esférica ficará assim, olha só:

1 r 2   .   ∂ ∂ r   .   r ²   .   ∂ T ∂ r = 1 α   .   ∂ T ∂ t

Show! Agora vamos colocar a forma do comportamento da temperatura dado no enunciado, beleza?

1 r 2   .   ∂ ∂ r   .   r ²   .   ∂ C 1 r + C 2 ∂ r = 1 α   .   ∂ T ∂ t

- 1 r 2   .   ∂ ∂ r   .   r ²   .   C 1 r ² = 1 α   .   ∂ T ∂ t

Opa! Chegando até aí já garantimos as condições de regime estacionário! Show, primeira parte feita!

Passo 3

Agora ele quer saber como que o fluxo térmico e a taxa de calor variam com o raio… Vamos começar pelo fluxo térmico, ok?

q x " =   - k   .   ∂ T ∂ r

q x " =   - k   .   ∂ C 1 r + C 2 ∂ r

q x " =   k   .   C 1 r ²

Show! Vimos que o fluxo térmico é inversamente proporcional ao quadrado do raio…

Agora a taxa de calor:

q = A   .   q x "

Com o fluxo térmico que já encontramos e com a área da esfera sendo A = 4   .   π   .   r ² , vamos ter:

q = 4   .   π   .   r ²   .   k   .   C 1 r ²

q = 4   .   π   .   k   .   C 1

Opa! Acabamos de constatar que a taxa de transferência de calor é independente do raio da casca esférica.

Uhul! Conseguimos!

Resposta

As condições do enunciado correspondem a um regime estacionário.

O fluxo térmico é inversamente proporcional ao quadrado do raio e a taxa de transferência de calor é independente do raio da casca esférica.

q x " =   k   .   C 1 r ² q = 4   .   π   .   k   .   C 1

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