Enunciado

Um pequeno escorregador de água deve ser instalado em uma piscina. Veja a Figura PA6.3. O fabricante do escorregador recomenda uma vazão contínua Q de água de 1,39 x 10−3 m3/s (aproximadamente 22 gal/min) pelo escorregador, para assegurar que as pessoas não esquentem seus traseiros. Uma bomba deve ser instalada debaixo do escorregador, com uma mangueira de 5,00 m de comprimento e 4,00 cm de diâmetro fornecendo água da piscina para o escorregador da piscina. A bomba tem 80% de rendimento e está completamente submersa a 1,00 m da superfície da água. A rugosidade interna da mangueira é de aproximadamente

0,0080 cm. A mangueira descarrega a água no topo do escorregador como um jato livre aberto à atmosfera. A saída da mangueira está a 4,00 m acima da superfície de água. Para escoamento turbulento totalmente desenvolvido, o fator de correção da energia cinética é aproximadamente 1,06. Ignore qualquer perda localizada. Considere que rho = 998 kg/m3 e nu= 1,00 x 10−6 m2/s para a água. Determine a potência de acionamento (ou seja, a potência real de eixo em watts) necessária para a bomba.

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nesse problema, temos água a 20 ° C ( ρ á g u a = 998   k g / m ³ , ν = 10 - 6   m 2 / s ) escoando em um escorregador a uma vazão de Q = 1,39 × 10 - 3   m 3 / s .

Uma bomba com 80 % de rendimento deve ser instalada a 1   m abaixo do escorregador com uma mangueira de comprimento L = 5   m e diâmetro D = 0,04   m , que descarrega água com um jato livre aberto à atmosfera, com essa saída a 4   m acima da superfície da água.

A questão pede que a gente calcule a potência real da bomba em watts.

Pra isso, vamos fazer um balanço de energia nesse sistema, calcular o fator de atrito e, por fim, determinar a potência requerida para a bomba.

Então vem comigo que a gente vai resolver esse problema juntos!

Passo 2

Em primeiro lugar, vamo fazer um balanço de energia pra esse sistema.

O balanço de energia para o sistema, partindo da superfície livre até a saída da mangueira é:

P a ρ g + α 1 V 1 2 2 g + z 1 = P a ρ g + α 2 V 2 2 2 g + z 2 + h f - h b o m b a

Sendo: z 1 = 0 e z 2 = 4   m a distância d saída da mangueira até a superfície livre, P a é a pressão atmosférica, que é igual nos dois pontos do volume de controle, e V 1 = 0 , pois não há escoamento nesse ponto da superfície livre.

Além disso, sabemos que a perda de carga é expressa como h f = f L d V 2 2 2 g .

Reorganizando a equação, teremos uma expressão para a carga da bomba:

h b o m b a = z 2 + V 2 2 2 g ( α 2 + f L d )

Sendp α 2 = 1,06 , o fator de correção da energia cinética para o escoamento turbulento totalmente desenvolvido.

Passo 3

Antes de prosseguir para o final, precisamos calcular o fator de atrito de Darcy, considerando a rugosidade relativa de ε D =   0,0080   c m 4   c m = 0,002 .

Além disso, vamo precisar calcular o número de Reynolds. Pra isso, vamos calcular V 2 :

V 2 = Q A = 1,39 × 10 - 3   m 3 / s π ( 0,02   m ) ² = 1,106   m / s

E o número de Reynolds:

R e = V D ν = ( 1,106   m / s ) ( 0,04   m ) 10 - 6   m 2 / s = 4,424 × 10 4

Com o número de Reynolds e a rugosidade relativa a gente vai entrar no diagrama de Moody pra calcular o fator de atrito:

Dessa forma, achamos f ≈ 0,027 .

Passo 4

Agora podemos calcular a carga da bomba:

h b o m b a = 4   m + 1,106 m s 2 2 9,81 m s 2 1,06 + 0,027 5   m 0,04   m = 4,28   m

Pra calcular a potência requerida da bomba em watts, com uma eficiência de η = 0,8 , devemos fzer uma análise dimensional:

P o t r e q = ρ g Q h b o m b a η = 998 k g m 3 9,81 m 2 s 1,39 × 10 - 3 m 3 s 4,28   m 0,8

P o t r e q = 72,8   W

Pronto, matamos o problema juntos!

Resposta

A potência de acionamento necessária para a bomba é P o t r e q = 72,8   W

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