Enunciado

Ar-padrão escoa da atmosfera para dentro de um canal plano, largo, conforme mostrado. Camadas limite laminares formam-se sobre as paredes de topo e de fundo do canal (ignore efeitos de camada limite sobre as paredes laterais). Considere que as camadas limite comportam-se como sobre uma placa plana, com perfis lineares de velocidade. Em qualquer distância axial a partir da entrada, a pressão estática é uniforme na seção transversal do canal. Considere escoamento uniforme na seção (1). Indique onde a equação de Bernoulli pode ser aplicada neste campo de escoamento. Determine a pressão estática (manométrica) e a espessura de deslocamento na seção (2). Trace a pressão de estagnação (manométrica) através do canal da seção (2), e explique o resultado. Determine a pressão estática (manométrica) na seção (1) e compare com a pressão estática (manométrica) na seção (2).

Passo 1

Vamos listar o que a gente precisa achar:

- Equação de Bernoulli para esse escoamento

- Pressão estática (manométrica) na seção (2)

- Expessura de deslocamento na seção (2)

- Relação entre a pressão de estagnação e a altura ( y ) de um ponto na seção (2).

- Pressão estática na seção (1)

E enunciado dá umas informações para gente:

- Temos um perfil de velocidade linear em (2):

u U = y δ

- largura: b = 15 0   m m = 0,15 m

- expessura de perturbação: δ 2 = 10   m m = 0,01 m

- velocidade de corrente livre: U 2 = 22,5   m / s

- altura do canal: h = 30   m m = 0,03 m

- ar-padrão: ρ = 1,21 k g / m 3 e μ = 1,81 ⋅ 10 - 5 N ⋅ s / m

Vamo começar!

Passo 2

A equação de Bernoulli tem essa carinha:

p ρ + V 2 2 + g z = c o n s t a n t e

A gente pode usar ela tanto antes do ar entrar no canal, quanto depois, dentro da região onde não há efeitos de viscosidade.

Passo 3

Vamos começar achando a expessura de deslocamento na seção (2). Para o perfil de velocidade linear, temos que:

δ * = ∫ 0 δ 1 - u U d y = ∫ 0 δ 1 - y δ d y = δ 2

Daí a gente tira que:

δ 2 = 10 m m ∴ δ 2 * = 5   m m

Passo 4

Para achar as pressões estáticas nas seções, vamos precisar das velocidades em cada seção. A gente consegue encontrar as que faltam pela conservação de massa, a vazão da seção (1) deve ser igual a da ( 2 ) :

U 1 A 1 = U 2 A 2

Mas repara que na seção dois, a gente considera que a nossa seção onde a velocidade é uniforme é menor porque tem a presença de camadas limite. Por isso a gente vai usar a expessura de deslocamento para achar essa nova área.

Aí nossas continhas ficam assim:

A 1 = 0,03 ⋅ 0,15 = 0,0045   m 2

A 2 = 0,03 - 2 ⋅ δ 2 * ⋅ 0,15 = 0,003   m 2

Com a conservação de massa:

A 1 ⋅ U 1 = A 2 U 2

U 1 = 0,003 ⋅ 22,5 0,0045 = 15   m / s

Passo 5

Para achar a pressão estática ( P 1 ) na seção (1), vamos usar a equação de Bernoulli entre o lado de fora e a própria seção:

P a t m = P 1 ρ + U 1 2 2

Mas para achar a pressão manométrica:

P 1 = - U 1 2 ρ 2 = - 136,1 3 P a

Passo 6

Para achar a pressão estática ( P 2 ) na seção (2), vamos usar a equação de Bernoulli entre o lado de fora e a própria seção:

P a t m = P 2 ρ + U 2 2 2

Mas para achar a pressão manométrica:

P 2 = - U 2 2 ρ 2 = - 306,2 8 P a

Deu meno que a da seção (1), isso ocorre porque a velocidade vai aumentando ao longo do canal por causa da diminuição de seção devido as camadas limite.

Passo 7

Falta a gente traçar o gráfico da pressão de estagnação em (2).Ela é simétrica horizentalmente. Podemos dizer que ela vai ser a soma da pressão estática com a dinâmica:

P t = ρ P 2 + u 2 2

Lembrando que:

u U 2 = y δ

A gente pode substituir e ficar com essa expressão para traçar o gráfico:

P t = ρ P 2 + y U 2 δ 2 2 2

Como sabemos o valor de δ 2 e U 2 , conseguimos esboçar esse gráfico.

Um último detalhe: a gente sabe que onde não há camada limite, a velocidade é uniforme U 2 = 22,5   m / s , por isso essa expressão só vai servir para 0 < y < δ 2 .

Enquanto de δ 2 < y < h / 2 , u = U 2

Passo 8

Nosso gráfico fica com essa cara:

Ela é um indicativo de energia mecânica total. A gente vê que perto das paredes há perda de energia, mas na região central não tem.

Resposta

δ 2 * = 5   m m

P 1 = - 136,13 P a

P 2 = - 306,28 P a

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