Enunciado

Uma bomba de arrasto viscoso é feita de um invólucro estacionário com um tambor rotativo bem ajustado no seu interior. A folga é pequena comparada com o diâmetro do tambor, de modo que o escoamento no espaço anular entre o invólucro e o tambor pode ser tratado como um escoamento entre placas paralelas. O fluido é arrastado em volta do anel por forças viscosas. Avalie as características de desempenho da bomba de arrasto (diferencial de pressão, potência requerida e eficiência) como funções da vazão volumétrica. Considere que a profundidade normal ao diagrama é b .

Passo 1

Tá legal, a primeira coisa que devemos fazer é escrever a equação para a vazão volumétrica para escoamento laminar com gradiente de pressão entre placas estacionárias e paralelas, com a superior se movimentando, essa equação foi dada nessa seção do livro, é a equação 8.9b, dessa forma temos:

Q l = U a 2 - 1 12 μ ∂ p ∂ x a 3

Só que, no nosso caso, a velocidade U será dada pela rotação do tambor vezes o seu raio, então, temos:

U = ω R

E o gradiente de pressão pode ser dado por:

∂ p ∂ x = Δ p L

Então, sabendo que no nosso caso a profundidade normal ao diagrama é b , e substituindo essas duas expressões na equação para a vazão, temos:

Q b = ω R a 2 - Δ p a 3 12 μ L

Então, isolando o gradiente de pressão dessa equação, temos:

Δ p a 3 12 μ L = ω R a 2 - Q b → Δ p = 12 μ L a 3 ω R a 2 - Q b

Passo 2

Agora, para encontrar uma relação para a potência, nós sabemos que a potência é dada pelo torque vezes a rotação:

P = T ω

Nesse caso, sabemos que o torque é dado pela força vezes o braço de alavanca, que nesse caso é o raio do tambor, então, temos:

T = F R

E, no nosso caso, a força será dada pela tensão de cisalhamento vezes a área de contato, então, temos:

T = τ A R → T = τ b L R

Agora, nesse caso, precisamos recorrer à tensão de cisalhamento dada pela equação 8.9a:

τ = μ U a + a ∂ p ∂ x y a - 1 2

No nosso caso, estamos interessados na potência, que é calculada com o raio máximo do tambor, dessa forma, também, precisamos pegar a extremidade do filme, de modo que y = a , assim, substituindo isso na equação acima, além das expressões vistas no passo 1 para U e o gradiente de pressão, então, temos:

τ = μ ω R a + a Δ p 2 L

Então, substituindo essa expressão na equação para o torque, temos:

T = μ ω R a + a Δ p 2 L b L R

Agora, substituindo a expressão para Δ p encontrado no passo 1, temos:

T = μ ω R a + a 2 L 12 μ L a 3 ω R a 2 - Q b b L R

Então, substituindo essa expressão na equação para a potência, temos:

P = μ ω R a + a 2 L 12 μ L a 3 ω R a 2 - Q b b L R ω

Passo 3

E, por fim, para encontrar a expressão para a eficiência, sabemos que a potência produzida pode ser dada pela vazão vezes o gradiente de pressão:

P s = Q Δ p

Substituindo a expressão encontrada para Δ p , temos:

P s = Q 12 μ L a 3 ω R a 2 - Q b

Então, a eficiência será dada pela potência de saída pela potência de entrada, dada pela expressão encontrada no passo 2, então, teremos:

η = P s P = Q 12 μ L a 3 ω R a 2 - Q b μ ω R a + a 2 L 12 μ L a 3 ω R a 2 - Q b b L R ω

η = 12 μ Q ω R a 2 - Q b μ ω R a + a 2 L 12 μ L a 3 ω R a 2 - Q b a 3 b R ω

Resposta

Δ p = 12 μ L a 3 ω R a 2 - Q b

P = μ ω R a + a 2 L 12 μ L a 3 ω R a 2 - Q b b L R ω

η = 12 μ Q ω R a 2 - Q b μ ω R a + a 2 L 12 μ L a 3 ω R a 2 - Q b a 3 b R ω

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