Enunciado

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O período de oscilação T de uma onda de superfície da água é considerado uma função da massa específica ρ , do comprimento de onda λ , da profundidade h, da gravidade g e da tensão superficial γ . Reescreva essa relação na forma adimensional. Qual é o resultado se γ for desprezível? Dica: Escolha λ ,   ρ ,   g como variáveis repetitivas.

Passo 1

E aí, gente!!! Tudo bem? Vamos encarar juntos mais um desafio de mecflu? Mas fica tranquilooooooo proque vamos arrasar! VEM COMIGO!

Então, primeira coisa que vamos fazer em questões desse tipo que dizem “isso é função daquilo” é escrever de forma matemática, beleza?

T = f ( ρ , λ   , h , g ,   γ )

Passo 2

O segundo passo para encontrarmos os grupos adimensionais é saber QUANTOS precisamos encontrar. Isso você faz com essa continha aqui ó:

Quantas variáveis tem nosso problema? T , ρ , λ , h , g e γ . Opa, temos então 6!!

Quais são as dimensões que temos que obter? MLT, ou seja, 3.

Então a quantidade de variáveis n menos a quantidade de dimensões j dará a quantidade de grupos adimensionais esperados. Logo, temos que encontrar 3 grupos pi.

Passo 3

Vamos agora abrir nossos parâmetros em suas respectivas dimensões MLT!!!

T = { f ( ρ , λ   , h , g ,   γ ) }

T = M L - 3 L L L T - 2 M T - 2

Vamos selecionar nossos grupos adimensionais:

Π 1 = ρ a λ b g c γ = M L - 3 a L b L T - 2 c M T - 2 = M 0 L 0 T 0

Π 2 = ρ a λ b g c h = M L - 3 a L b L T - 2 c L = M 0 L 0 T 0

Π 3 = ρ a λ b g c T = M L - 3 a L b L T - 2 c T = M 0 L 0 T 0

Passo 4

Vamos fazer agora o algebrismo para encontrarmos o nosso primeiro grupo Π 1 , beleza?

Π 1 = ρ a λ b g c γ = M L - 3 a L b L T - 2 c M T - 2 = M 0 L 0 T 0

M : a + 1 = 0 → a = - 1

L : - 3 a + b + c = 0

T : - 2 c - 2 = 0 → c = - 1

Logo, b = 3 a - c = - 3 + 1 = - 2

Π 1 = γ ρ g λ 2

De igual forma fazemos para o grupo pi 2 e pi 3!!

Π 2 = ρ a λ b g c h = M L - 3 a L b L T - 2 c L = M 0 L 0 T 0

M : a = 0

L : - 3 a + b + c + 1 = 0

T : - 2 c = 0 → c = 0

Logo, b = 3 a - c - 1 = - 1

Π 2 = h λ

Agora, vamos para o terceiro grupo!!

Π 3 = ρ a λ b g c T = M L - 3 a L b L T - 2 c T = M 0 L 0 T 0

M : a = 0

L : - 3 a + b + c = 0

T : - 2 c + 1 = 0 → c = 1 / 2

Logo, b = 3 a - c = - 1 / 2

Π 3 = g λ 1 2

Portanto, podemos escrever essa relação de forma adimensional tal que:

g λ 1 2 = f h λ , γ ρ g λ 2

Passo 5

Se γ for desprezado, temos que:

T = { f ( ρ , λ   , h , g ) }

Precisamos de 2 grupos adimensionais, certo?

T = M L - 3 L L L T - 2

Seguindo a mesma metodologia, vamos escolher os grupos pi com a recomendação das variáveis repetitivas do enunciado.

Π 1 = ρ a λ b g c h

Π 2 = ρ a λ b g c T

Abrindo as dimensões temos:

Π 1 = M L - 3 a L b L T - 2 c L = M 0 L 0 T 0

Π 2 = M L - 3 a L b L T - 2 c T = M 0 L 0 T 0

Seguindo a mesma metodologia anterior, você vai encontrar os seguintes grupos:

Π 1 = g λ 1 2

Π 2 = h λ

Ou seja, g λ 1 2 = f h λ

Resposta

g λ 1 2 = f h λ , γ ρ g λ 2

g λ 1 2 = f h λ

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