Enunciado

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O período T de vibração de uma viga é uma função o seu comprimento L, do momento de inércia de área I, do módulo de elasticidade E, da massa específica ρ e do módulo de Poisson σ . Reescreva essa relação em forma adimensional. Que redução adicional podemos fazer se E e I puderem aparecer apenas na forma de E/I? Dica: Escolha L, ρ e E como variáveis repetitivas.

Passo 1

Vamos lá, galera!!!! A gente vai escrever de forma matemática como as coisas são função de outros parâmetros!

T = f L ,   I ,   E ,   ρ ,   σ

Bem, as unidades desses caras são quais?

T = T

L = L

I = L 4

E = M L - 1 T - 2

ρ = M L - 3

σ = { M 0 L 0 T 0 )

Opaaaaa, tem um cara aí que já é um grupo adimensional, porque tem os expoentes das dimensões iguais a zero.

Passo 2

Bem, podemos então deduzir que temos 6 variáveis e 3 dimensões bases, logo precisamos de 6-3 grupos pi adimensionais, certo? Lembrando que um já encontramos só de observar as unidades das paradas!!!

Π 1 = L a ρ b E c I

Π 2 = L a ρ b E c T

Passo 3

Para o grupo 1, vamos fazer a nossa análise e algebrismo necessário!!!

Π 1 = L a M L - 3 b M L - 1 T - 2 c L 4 = { M 0 L 0 T 0 }

M : b + c = 0

L : a - 3 b - c + 4 = 0

T = - 2 c = 0 → c = 0

Logo b = c = 0 e a = - 4

Π 1 = I L 4

Para o próximo grupo:

Π 2 = L a ρ b E c T = L a M L - 3 b M L - 1 T - 2 c T = { M 0 L 0 T 0 }

M : b + c = 0

L : a - 3 b - c + 4 = 0

T : - 2 c + 1 = 0 → C = 1 / 2

b = - 1 / 2

a = 3 b + c - 4 = - 3 2 + 1 2 - 4 = 1 - 3 2 - 4 = - 2 - 4 = - 6

Π 2 = E ρ 1 2 T L 6  

Logo, podemos escrever que:

T L 6 E ρ = f I L 4 , σ

T L 6 E L 4 I ρ = f ( σ )

T L 4 E I ρ = f ( σ )

Resposta

T L 4 E I ρ = f ( σ )

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