Enunciado

Reconsidere o problema do filme de óleo totalmente desenvolvido escoando na vertical (ver Figura P4.80) como um exercício de análise dimensional. Seja a velocidade vertical uma função apenas da distância da placa, das propriedades do fluido, da gravidade e da espessura do filme. Isto é, w 5 f(x, r, m, g, d). (a) Use o teorema pi para reescrever essa função em termos de parâmetros adimensionais. (b) Verifique se a solução exata do Problema P4.80 é consistente com os seus resultados na parte (a).

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nesse problema, temos que analisar a velocidade vertical de um filme de óleo totalmente desenvolvido escoando na vertical.

A letra (a) nos pede para usar análise dimensional para escrever a função escrever w =   f   ( x ,   ρ ,   μ ,   g , δ ) como um adimensional.

Já a letra (b) nos pede para verificar se a solução exata do Problema P4.80 é consistente com os seus resultados na parte (a).

Nos próximos passos eu vou te ajudar a resolver esse problema, então vem comigo!

Passo 2

Em primeiro lugar, iremos resolver a letra (a).

Vamos olhar de novo a função que define a velocidade vertical do óleo:

w =   f   ( x ,   ρ ,   μ ,   g , δ )

Note que nessa função temos n = 6 variáveis e j = 3 dimensões primárias ( M ,   L   T ). Por análise dimensional, sabemos que isso quer dizer que teremos 3 grupos Pi.

Nós vamos selecionar ( ρ ,   g , δ ) como variáveis que se repetem, pois apenas ρ tem uma dimensão de massa, apenas g tem uma dimensão de tempo. Sendo assim:

Π 1 = w g δ

Π 2 = μ ρ g δ ³

Π 3 = x δ

Logo, a função adimensional será:

w g δ = f μ ρ g δ ³ , x δ

Passo 3

Pra finalizar a questão, vamo resolver a letra (b).

Vamos lembrar a solução exata do Problema 4.80:

w = ρ g x 2 μ ( x - 2 δ )

Podemos multiplicar os dois lados da equação por μ / ρ g δ 2 :

w μ ρ g δ 2 = 1 2 x δ 2 x - 2 δ

Podemos reescrever g δ 2 como g δ ∙ g δ ³ , e podemos reagrupar o termo no lado esquerdo:

w g δ μ ρ g δ ³ = 1 2 x δ 2 x - 2 δ

Além disso, podemos expressar δ 2 no lado direito como δ ∙ δ e passar um 1 / δ para dentro dos parênteses:

w g δ μ ρ g δ ³ = 1 2 x δ x δ - 2

Se nós lembrarmos dos valores de Pi que deduzimos no passo anterior, podemos reorganizar a equação acima como:

Π 1 Π 2 = 1 2 Π 3 Π 3 - 2

Dessa forma, a gente confirma que as duas soluções estão relacionadas.

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

(a) Os parâmetros adimensionais para a função apresentada no enunciado são Π 1 = w g δ , Π 2 = μ ρ g δ ³ e Π 3 = x δ

(b) Sim, a solução é consistente com os parâmetros deduzidos na letra (a), pois a equação pôde ser adimensionada com os parâmetros Π 1 ,   Π 2   e   Π 3 .

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